观察如图所示5个等式：照图中式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）
2019-04-14
观察如图所示5个等式：照图中式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）
优质解答
（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6 
…（2分）
猜想：第n 个等式为-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n …（4分）
（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n
①当n=1时，由已知得原式成立； …（5分）
②假设当n=k时，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）k•（2k-1）=（-1）k•k
…（6分）
那么，当n=k+1时，-1+3-5+7-9+…+（-1）k•（2k-1）+（-1）k+1•（2k+1）
=（-1）k•k+（-1）k+1•（2k+1）=（-1）k+1•（-k+2k+1）=（-1）k+1•（k+1）
故n=k+1时，原式也成立 …（11分）
由①②知，-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n
成立…（13分）
（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6
…（2分）
猜想：第n 个等式为-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n …（4分）
（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n
①当n=1时，由已知得原式成立； …（5分）
②假设当n=k时，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）k•（2k-1）=（-1）k•k
…（6分）
那么，当n=k+1时，-1+3-5+7-9+…+（-1）k•（2k-1）+（-1）k+1•（2k+1）
=（-1）k•k+（-1）k+1•（2k+1）=（-1）k+1•（-k+2k+1）=（-1）k+1•（k+1）
故n=k+1时，原式也成立 …（11分）
由①②知，-1+3-5+7-9+…+（-1）n•（2n-1）=（-1）n•n
成立…（13分）