一道中考数学压轴题已知点B的坐标是（4,0）,且A是线段OB的中垂线与双曲线Y=K∕X（K＞0）的交点,连结OA,且∠AOB的正切值等于2.试求：（1）A点的坐标及反比例函数的解析式（2）已知抛物线Y=（X+M）的平方+N,它的顶点M是线段OA上的任意一点,过A点作X轴的垂线,且分别交抛物线与P点、交X轴与C 点,试求当△OBP的面积最小时点M的坐标.（3）在（1）的基础上,连结MC,MP请探索：是否存在一点M,使得△AMP与△AMC相似,若存在求出点M的坐标,若不存在,说明理由

2019-06-27

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一道中考数学压轴题
已知点B的坐标是（4,0）,且A是线段OB的中垂线与双曲线Y=K∕X（K＞0）的交点,连结OA,且∠AOB的正切值等于2.试求：（1）A点的坐标及反比例函数的解析式（2）已知抛物线Y=（X+M）的平方+N,它的顶点M是线段OA上的任意一点,过A点作X轴的垂线,且分别交抛物线与P点、交X轴与C
点,试求当△OBP的面积最小时点M的坐标.（3）在（1）的基础上,连结MC,MP请探索：是否存在一点M,使得△AMP与△AMC相似,若存在求出点M的坐标,若不存在,说明理由

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（1）点A在线段OB的中垂线上,则A点横坐标为2,tg∠AOB=2,则A点纵坐标为4,A点坐标为（2,4）.
将A点坐标代入双曲线方程,解得K=8,双曲线方程为y=8/x.
（2）抛物线y=(x+m)2+n的顶点坐标为（-m,n）,直线OA的方程为y=2x,点M在OA上,则n=-2m.直线PA过垂直于X轴且与抛物线交于点P则,P点坐标为（2,(m+2)2+n）,则PC=(m+2)2+n）.△OBP的面积S=OB*PC/2=4*(m+2)2+n）/2=2（m2+2m+4）=2(m+1)2+6,显然点M坐标为（-1,2）时,S△OBP的最小值为6.
（3）假设△AMP∽△AMC则有AP/AM=AM/AC,即AM2=AP*AC①.AM=AO-MO,AO=2 ,
MO=m （由M点的坐标计算得到）,AM=(2-m) .AC=4,AP=AC-PC=4-（(m+2)2-2m））=-m2-2m.将AM、AP及AP代入①中,得9m2-12m+20=0,此方程无解,故不存在这样的点. （1）点A在线段OB的中垂线上,则A点横坐标为2,tg∠AOB=2,则A点纵坐标为4,A点坐标为（2,4）.
将A点坐标代入双曲线方程,解得K=8,双曲线方程为y=8/x.
（2）抛物线y=(x+m)2+n的顶点坐标为（-m,n）,直线OA的方程为y=2x,点M在OA上,则n=-2m.直线PA过垂直于X轴且与抛物线交于点P则,P点坐标为（2,(m+2)2+n）,则PC=(m+2)2+n）.△OBP的面积S=OB*PC/2=4*(m+2)2+n）/2=2（m2+2m+4）=2(m+1)2+6,显然点M坐标为（-1,2）时,S△OBP的最小值为6.
（3）假设△AMP∽△AMC则有AP/AM=AM/AC,即AM2=AP*AC①.AM=AO-MO,AO=2 ,
MO=m （由M点的坐标计算得到）,AM=(2-m) .AC=4,AP=AC-PC=4-（(m+2)2-2m））=-m2-2m.将AM、AP及AP代入①中,得9m2-12m+20=0,此方程无解,故不存在这样的点.