在数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =ca n +c n+1 （2n+1）（n∈N * ），其中实数c≠0．（1）求a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ；（2）猜想{a n }的通项公式并用数学归纳法证明；（3）若对一切k∈N * 有a 2k ＞a zk-1 ，求c的取值范围．

2019-04-14

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在数列{a_n }中，a₁ =1，a_n+1 =ca_n +cⁿ⁺¹ （2n+1）（n∈N^* ），其中实数c≠0．
（1）求a₁ ，a₂ ，a₃ ，a₄ ；
（2）猜想{a_n }的通项公式并用数学归纳法证明；
（3）若对一切k∈N^* 有a_2k ＞a_zk-1 ，求c的取值范围．

优质解答

（1）由a₁ =1，
a₂ =ca₁ +c² •3=3c² +c=（2² -1）c² +c，…（1分）
a₃ =ca₂ +c³ •5=8c³ +c³ =（3² -1）c³ +c² ，…（2分）
a₄ =ca₃ +c⁴ •7=15c⁴ +c³ =（4² -1）c⁴ +c³ ，…（3分）
（2）猜测a_n =（n² -1）cⁿ +c^n-1 ，n∈N^* ．…（5分）
下用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即a_k =（k² -1）c^k +c^k-1 ，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1 =ca_k +c^k′+1 （2k+1）=c[（k² -1）c^k +c^k-1 ]+c^k+1 （2k+1）
=（k² +2k）c^k+1 +c^k =[（k+1）² -1]c^k+1 +c^k ，…（7分）
综上，a_n =（n² -1）cⁿ +c^n-1 对任何n∈N^* 都成立．…（8分）
（3）由a_2k ＞a_2k-1 ，得[（2k）² -1]c^2k +c^2k-1 ＞[（2k-1）² -1]c^2k-1 +c^2k-2 ，…（9分）
因c^2k-2 ＞0，所以（4k² -1）c² -（4k² -4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^* ，有c＞c_k 或c＜c _k ′，
其中 c k =

(4 k 2 -4k-1)+

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

2(4 k 2 -1)

， c k / =

(4 k 2 -4k-1)-

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

2(4 k 2 -1)

．…（10分）
易知

lim

k→∞

c k =1 ，
又由

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

＜

(4 k 2 -1) 2 +4(4 k 2 -1)+4

=4 k 2 +1 ，
知 c k ＜

(4 k 2 -4k-1)+4 k 2 +1

2(4 k 2 -1)

=

8 k 2 -4k

8 k 2 -2

＜1 ，…（11分）
因此由c＞c_k 对一切k∈N^* 成立得c≥1．…（12分）
又 c k / =

-2

(4 k 2 -4k-1)+

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

＜0 ，
易知c_k ′单调递增，故 c_k ′≥c₁ ′对一切k∈N^* 成立，
因此由c＜c_k ′对一切k∈N^* 成立得 c＜ c 1 / =-

1+

13

6

．…（13分）
从而c的取值范围为 (-∞，-

1+

13

6

)∪[1，+∞) ．…（14分）．

（1）由a₁ =1，
a₂ =ca₁ +c² •3=3c² +c=（2² -1）c² +c，…（1分）
a₃ =ca₂ +c³ •5=8c³ +c³ =（3² -1）c³ +c² ，…（2分）
a₄ =ca₃ +c⁴ •7=15c⁴ +c³ =（4² -1）c⁴ +c³ ，…（3分）
（2）猜测a_n =（n² -1）cⁿ +c^n-1 ，n∈N^* ．…（5分）
下用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即a_k =（k² -1）c^k +c^k-1 ，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1 =ca_k +c^k′+1 （2k+1）=c[（k² -1）c^k +c^k-1 ]+c^k+1 （2k+1）
=（k² +2k）c^k+1 +c^k =[（k+1）² -1]c^k+1 +c^k ，…（7分）
综上，a_n =（n² -1）cⁿ +c^n-1 对任何n∈N^* 都成立．…（8分）
（3）由a_2k ＞a_2k-1 ，得[（2k）² -1]c^2k +c^2k-1 ＞[（2k-1）² -1]c^2k-1 +c^2k-2 ，…（9分）
因c^2k-2 ＞0，所以（4k² -1）c² -（4k² -4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^* ，有c＞c_k 或c＜c _k ′，
其中 c k =

(4 k 2 -4k-1)+

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

2(4 k 2 -1)

， c k / =

(4 k 2 -4k-1)-

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

2(4 k 2 -1)

．…（10分）
易知

lim

k→∞

c k =1 ，
又由

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

＜

(4 k 2 -1) 2 +4(4 k 2 -1)+4

=4 k 2 +1 ，
知 c k ＜

(4 k 2 -4k-1)+4 k 2 +1

2(4 k 2 -1)

=

8 k 2 -4k

8 k 2 -2

＜1 ，…（11分）
因此由c＞c_k 对一切k∈N^* 成立得c≥1．…（12分）
又 c k / =

-2

(4 k 2 -4k-1)+

(4 k 2 -4k-1) 2 +4(4 k 2 -1)

＜0 ，
易知c_k ′单调递增，故 c_k ′≥c₁ ′对一切k∈N^* 成立，
因此由c＜c_k ′对一切k∈N^* 成立得 c＜ c 1 / =-

1+

13

6

．…（13分）
从而c的取值范围为 (-∞，-

1+

13

6

)∪[1，+∞) ．…（14分）．

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