有关灯泡的数学逻辑题现在有N个灯泡,围成一个圈.每个灯泡初始状态可以是亮或者是不亮.在圈中央有一个按钮,按一下会出现以下效果：当放开按钮时,某灯泡状态变为亮,当且仅当在按按钮之前它和它右面的灯泡同时为亮或者不亮.证明：如果N是2的任意次方,那么在按了按钮N次后,不管初始状态是什么,全部灯泡都亮如果N不是2的任意次方,是不是也有上述性质?当放开按钮时，某灯泡状态变为亮，当且仅当在按按钮之前它和它右面的灯泡同时为亮或者不亮。按下按钮以后，每一个灯泡的亮和不亮取决于按钮按下之前它自己和它右面灯泡的亮和不亮，如果
2019-05-29
有关灯泡的数学逻辑题
现在有N个灯泡,围成一个圈.每个灯泡初始状态可以是亮或者是不亮.
在圈中央有一个按钮,按一下会出现以下效果：
当放开按钮时,某灯泡状态变为亮,当且仅当在按按钮之前它和它右面的灯泡同时为亮或者不亮.
证明：如果N是2的任意次方,那么在按了按钮N次后,不管初始状态是什么,全部灯泡都亮
如果N不是2的任意次方,是不是也有上述性质?
当放开按钮时，某灯泡状态变为亮，当且仅当在按按钮之前它和它右面的灯泡同时为亮或者不亮。
按下按钮以后，每一个灯泡的亮和不亮取决于按钮按下之前它自己和它右面灯泡的亮和不亮，如果之前它和它右面的都亮或者都不亮，那个该灯泡在按完按钮后的状态就是亮，否则该灯泡就不亮。
优质解答
设刚开始时第i个灯泡的状态为x(i)（状态取值为0或1）
按一次后第i个灯泡的状态为
x(i)*x(i+1)
按二次后第i个灯泡的状态为
x(i)*x(i+1)^2*x(i+2)
按三次后
x(i)*x(i+1)^3+x(i+2)^3*x(i+3)
注意上式中乘方与乘法均为同或运算,即相等的数相乘为1,相异为0.
用归纳法可证按了n次后第i个灯泡的状态为
x(i)^C(n,0)*x(i+1)^C(n,1)*...*x(i+n)^C(n,n)
其中C(n,i)表示组合数,即从n个灯泡选i个的可能的选法.
注意上式中乘方与乘法均为同或运算,即相等的数相乘为1,相异为0.
当且仅当n为2的整数次幂时,上式对所有的i均等于1.
故问题2答案为否.
设刚开始时第i个灯泡的状态为x(i)（状态取值为0或1）
按一次后第i个灯泡的状态为
x(i)*x(i+1)
按二次后第i个灯泡的状态为
x(i)*x(i+1)^2*x(i+2)
按三次后
x(i)*x(i+1)^3+x(i+2)^3*x(i+3)
注意上式中乘方与乘法均为同或运算,即相等的数相乘为1,相异为0.
用归纳法可证按了n次后第i个灯泡的状态为
x(i)^C(n,0)*x(i+1)^C(n,1)*...*x(i+n)^C(n,n)
其中C(n,i)表示组合数,即从n个灯泡选i个的可能的选法.
注意上式中乘方与乘法均为同或运算,即相等的数相乘为1,相异为0.
当且仅当n为2的整数次幂时,上式对所有的i均等于1.
故问题2答案为否.