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刘徽（魏晋,公元3世纪）（中国,2002）,淄乡（今山东邹平县）人,布衣数学家,于263年撰《九章算术注》,不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理,并且多有创造,奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位,成为中国传统数学最具代表性的人物.
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积）.在刘徽之前,通常认为“周三径一”,即圆周率取为3.刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,通过计算圆内接正3072边形的面积,求出圆周率为3927/1250（=3.1416）（阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长）.为方便计算,刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3.14）作为圆周率,后人常把这个值称为“徽率”.这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家,并享有国际声誉.
让我们来体会刘徽的“割圆术”.
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚,1999）.
刘徽利用极限思想求圆的面积,就极限思想而言,从现存中国古算著作看,在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前,再没有人超过甚至达到刘徽的水平.2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度来衡量,刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”.
刘徽的数学思想和方法,到南北朝时期被祖冲之推进和发展.
2.2 祖冲之（429－500年）,范阳遒县（今河北涞源）人,活跃于南朝的宋、齐两代,曾做过一些小官,但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一.
祖冲之：“迟疾之率,非出神怪,有形可检,有数可推.”
祖冲之的著作《缀术》,取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就.祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐,魏征主编）的《律历志》中：“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛.自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷.宋末,南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率,圆径七,周二十二.” 即,祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,并以355/113（=3.1415929…）为密率,22/7（=3.1428…）为约率.
1913年日本数学史家三上义夫（1875－1950年）在《中国和日本的数学之发展》里主张称355/113为祖率.
祖冲之如何算出如此精密结果,《隋书•律历志》写道：“所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理”.《缀术》失传了,没有任何史料流传下来.史学家认为,祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割”外,并不存在有其它方法的可能性.如按刘徽的方法,继续算至圆内接正12288边形和正24576边形可得出圆周率在3.14159261与3.14159271之间.
《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异,在西方文献中称为卡瓦列里原理,或不可分量原理,因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出,对微积分的建立有重要影响.
在数学成就方面,整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家,主要的数学成就在于建立中国数学教育制度.为了教学需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656年）,即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》（约成书于公元400年,内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪,内有“百鸡问题”：今有鸡翁一,直钱五；鸡母一,直钱三；鸡雏三,直钱一.凡百钱,买鸡翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》（张邱建,北魏清河（今邢台市清河县）人,约成书于公元466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵,河北无极人）著）、《五经算经》（北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于626年前后,唐王孝通,内有三次方程及其根,但没有解题方法）.十部算经对继承古代数学经典有积极的意义,显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平,是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中国的科举考试制度,1905年清朝废止科举制度）.
贾宪（约公元11世纪）是北宋人,在朝中任左班殿值,约1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》的著作,原书丢失,但其主要内容被杨辉的《详解九章算法》摘录,因能传世.贾宪发明了“增乘开方法”,是中算史上第一个完整、可推广到任意次方的开方程序,一种非常有效和高度机械化的算法.在此基础上,贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角）,西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”,因为法国数学家帕斯卡（1623－1662年）于1654年发表论文《论算术三角形,以及另外一些类似的小问题》.
李冶（金、元,1192－1279年）,金代真定栾城（今河北栾城）人,出生的时候,金朝（1115－1234年）正由盛而衰,曾任钧州（今河南禹县）知事,1232年钧州被蒙古军所破,遂隐居于封龙山治学,潜心学问.1248年撰成代数名著《测圆海镜》,该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作,“天元术”与现代代数中的列方程法相类似,称未知数为天元,“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,可以说是符号代数的尝试,在数学史上具有里程碑意义.刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤,负算黑”,李冶感到用笔记录时换色的不便,便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.
“积财千万,不如薄技在身”.
李冶的天元术列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0.
秦九韶（约1202－1261年）,南宋普州安岳（今四川安岳）人,曾任和州（今安徽和县）守,1244年,因母丧离任,回湖州（今浙江吴兴）守孝三年.此间,秦九韶专心致志于研究数学,于1247年完成数学名著《数书九章》, 内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类,其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位.
《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο表示0号的著作.
一是发展了一次同余组解法,创立了“大衍求一术”（一种解一次同余式的一般性算法程序,现称中国剩余定理,所谓“求一”,通俗他说,就是求“一个数的多少倍除以另一个数,所得的余数为一”）的一般解法.中算家对于一次同余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元400年）中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”）：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?.《孙子算经》给出的答案是23,但其算法很简略,未说明其理论根据.秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法.在西方,最早接触一次同余式的是意大利数学家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盘书》中给出了两个一次同余问题,但没有一般算法,1743年瑞士数学家欧拉（1707－1783年）和1801年德国数学家高斯（1777－1855年）才对一次同余组进行了深入研究,重新获得与中国剩余定理相同的结果.
二是总结了高次方程数值解法,将贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程的一般情形,提出了相当完备的“正负开方术”（现称秦九韶法）.在西方,直到1804年意大利数学家鲁菲尼（1765－1822年）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理根的近似值问题,而1819年英国数学家霍纳（1786－1837年）才提出与“增乘开方法”演算步骤相同的算法,西方称霍纳法.
杨辉（公元13世纪）,南宋钱塘（今浙江杭州）人,曾做过地方官,足迹遍及钱塘、台州、苏州等地,是东南一带有名的数学家和数学教育家.杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》（1261年）是为了普及《九章算术》中的数学知识而作,它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目,进行详解,其中主要的数学贡献是“垛积术”,这是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.另一贡献是所谓的“杨辉三角”,其实是记载了贾宪的工作.
3.6 四元术
朱世杰（约1260－1320年）,寓居燕山（今北京附近）,当时的北方,正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期,朱世杰在经过长期游学、讲学之后,终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》.
中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强,日用数学和商用数学更加普及,南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表,而朱世杰则是这一倾向的继承.《算学启蒙》是一部通俗数学名著,出版后不久即流传至日本和朝鲜.就学术成就而论,《四元玉鉴》远超《算学启蒙》,它是中国宋元数学高峰的又一个标志,主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）.
四元术是多元高次方程列方程和解方程的方法,未知数最多可达四个,即天元、地元、人元和物元.如《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”,其中四元布列意为即元气（常数项）居中,天元（未知数x）于下,地元（未知数y）于左,人元（未知数z）于右,物元（未知数u）于上,所以上述方程指“ ”.
朱世杰的好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：《四元玉鉴》,其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上,阴阳升降,进退左右,互通变化,错综无穷.
清代数学家罗士琳（1774—1853年）在《畴人传•续编•朱世杰条》中说：汉卿在宋元间,与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三.道古正负开方,仁卿天元如积,皆足上下千古,汉卿又兼包众有,充类尽量,神而明之,尤超越乎秦李之上.
美国著名科学史家萨顿（1884－1956年）说：朱世杰是汉民族,他所生存时代的,同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家.
刘徽（魏晋,公元3世纪）（中国,2002）,淄乡（今山东邹平县）人,布衣数学家,于263年撰《九章算术注》,不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理,并且多有创造,奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位,成为中国传统数学最具代表性的人物.
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积）.在刘徽之前,通常认为“周三径一”,即圆周率取为3.刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,通过计算圆内接正3072边形的面积,求出圆周率为3927/1250（=3.1416）（阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长）.为方便计算,刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3.14）作为圆周率,后人常把这个值称为“徽率”.这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家,并享有国际声誉.
让我们来体会刘徽的“割圆术”.
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚,1999）.
刘徽利用极限思想求圆的面积,就极限思想而言,从现存中国古算著作看,在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前,再没有人超过甚至达到刘徽的水平.2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度来衡量,刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”.
刘徽的数学思想和方法,到南北朝时期被祖冲之推进和发展.
2.2 祖冲之（429－500年）,范阳遒县（今河北涞源）人,活跃于南朝的宋、齐两代,曾做过一些小官,但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一.
祖冲之：“迟疾之率,非出神怪,有形可检,有数可推.”
祖冲之的著作《缀术》,取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就.祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐,魏征主编）的《律历志》中：“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛.自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷.宋末,南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率,圆径七,周二十二.” 即,祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,并以355/113（=3.1415929…）为密率,22/7（=3.1428…）为约率.
1913年日本数学史家三上义夫（1875－1950年）在《中国和日本的数学之发展》里主张称355/113为祖率.
祖冲之如何算出如此精密结果,《隋书•律历志》写道：“所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理”.《缀术》失传了,没有任何史料流传下来.史学家认为,祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割”外,并不存在有其它方法的可能性.如按刘徽的方法,继续算至圆内接正12288边形和正24576边形可得出圆周率在3.14159261与3.14159271之间.
《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异,在西方文献中称为卡瓦列里原理,或不可分量原理,因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出,对微积分的建立有重要影响.
在数学成就方面,整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家,主要的数学成就在于建立中国数学教育制度.为了教学需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656年）,即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》（约成书于公元400年,内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪,内有“百鸡问题”：今有鸡翁一,直钱五；鸡母一,直钱三；鸡雏三,直钱一.凡百钱,买鸡翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》（张邱建,北魏清河（今邢台市清河县）人,约成书于公元466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵,河北无极人）著）、《五经算经》（北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于626年前后,唐王孝通,内有三次方程及其根,但没有解题方法）.十部算经对继承古代数学经典有积极的意义,显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平,是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中国的科举考试制度,1905年清朝废止科举制度）.
贾宪（约公元11世纪）是北宋人,在朝中任左班殿值,约1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》的著作,原书丢失,但其主要内容被杨辉的《详解九章算法》摘录,因能传世.贾宪发明了“增乘开方法”,是中算史上第一个完整、可推广到任意次方的开方程序,一种非常有效和高度机械化的算法.在此基础上,贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角）,西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”,因为法国数学家帕斯卡（1623－1662年）于1654年发表论文《论算术三角形,以及另外一些类似的小问题》.
李冶（金、元,1192－1279年）,金代真定栾城（今河北栾城）人,出生的时候,金朝（1115－1234年）正由盛而衰,曾任钧州（今河南禹县）知事,1232年钧州被蒙古军所破,遂隐居于封龙山治学,潜心学问.1248年撰成代数名著《测圆海镜》,该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作,“天元术”与现代代数中的列方程法相类似,称未知数为天元,“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,可以说是符号代数的尝试,在数学史上具有里程碑意义.刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤,负算黑”,李冶感到用笔记录时换色的不便,便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.
“积财千万,不如薄技在身”.
李冶的天元术列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0.
秦九韶（约1202－1261年）,南宋普州安岳（今四川安岳）人,曾任和州（今安徽和县）守,1244年,因母丧离任,回湖州（今浙江吴兴）守孝三年.此间,秦九韶专心致志于研究数学,于1247年完成数学名著《数书九章》, 内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类,其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位.
《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο表示0号的著作.
一是发展了一次同余组解法,创立了“大衍求一术”（一种解一次同余式的一般性算法程序,现称中国剩余定理,所谓“求一”,通俗他说,就是求“一个数的多少倍除以另一个数,所得的余数为一”）的一般解法.中算家对于一次同余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元400年）中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”）：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?.《孙子算经》给出的答案是23,但其算法很简略,未说明其理论根据.秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法.在西方,最早接触一次同余式的是意大利数学家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盘书》中给出了两个一次同余问题,但没有一般算法,1743年瑞士数学家欧拉（1707－1783年）和1801年德国数学家高斯（1777－1855年）才对一次同余组进行了深入研究,重新获得与中国剩余定理相同的结果.
二是总结了高次方程数值解法,将贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程的一般情形,提出了相当完备的“正负开方术”（现称秦九韶法）.在西方,直到1804年意大利数学家鲁菲尼（1765－1822年）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理根的近似值问题,而1819年英国数学家霍纳（1786－1837年）才提出与“增乘开方法”演算步骤相同的算法,西方称霍纳法.
杨辉（公元13世纪）,南宋钱塘（今浙江杭州）人,曾做过地方官,足迹遍及钱塘、台州、苏州等地,是东南一带有名的数学家和数学教育家.杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》（1261年）是为了普及《九章算术》中的数学知识而作,它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目,进行详解,其中主要的数学贡献是“垛积术”,这是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.另一贡献是所谓的“杨辉三角”,其实是记载了贾宪的工作.
3.6 四元术
朱世杰（约1260－1320年）,寓居燕山（今北京附近）,当时的北方,正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期,朱世杰在经过长期游学、讲学之后,终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》.
中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强,日用数学和商用数学更加普及,南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表,而朱世杰则是这一倾向的继承.《算学启蒙》是一部通俗数学名著,出版后不久即流传至日本和朝鲜.就学术成就而论,《四元玉鉴》远超《算学启蒙》,它是中国宋元数学高峰的又一个标志,主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）.
四元术是多元高次方程列方程和解方程的方法,未知数最多可达四个,即天元、地元、人元和物元.如《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”,其中四元布列意为即元气（常数项）居中,天元（未知数x）于下,地元（未知数y）于左,人元（未知数z）于右,物元（未知数u）于上,所以上述方程指“ ”.
朱世杰的好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：《四元玉鉴》,其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上,阴阳升降,进退左右,互通变化,错综无穷.
清代数学家罗士琳（1774—1853年）在《畴人传•续编•朱世杰条》中说：汉卿在宋元间,与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三.道古正负开方,仁卿天元如积,皆足上下千古,汉卿又兼包众有,充类尽量,神而明之,尤超越乎秦李之上.
美国著名科学史家萨顿（1884－1956年）说：朱世杰是汉民族,他所生存时代的,同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家.