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20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力,逐渐被放弃. 常微分方程
第一,能求得通解的方程显然是很少的.在常微分方程方面,一阶方程中可求得通解的,除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外,为数是很小的.高阶方程中,线性方程仍可以用叠加原理求解,即□阶齐次方程的通解是它的□个独立特解的线性组合,其系数是任意常数.非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解,这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得.求齐次方程的特解,当系数是常数时可归结为求一代数方程的根,这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时,则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得.至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外,可以求得通解的为数就更小了.□阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 □）早已为人们所知,并且在此后起着一定作用,但对通解的寻求仍无济于事. 在偏微分方程方面,一阶方程可以归结为一阶常微分方程组,但是如上所述,一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的.高阶方程中几乎只有少数二阶方程（如□,以及□,当用瀑布法时在一系列不变量中有一个开始为零的情形,和少数极个别的非线性方程如□□-□□□=□0等等）可以求得通解.在线性情形,推广常数变易法则是杜阿美原理.
20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力,逐渐被放弃. 常微分方程
第一,能求得通解的方程显然是很少的.在常微分方程方面,一阶方程中可求得通解的,除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外,为数是很小的.高阶方程中,线性方程仍可以用叠加原理求解,即□阶齐次方程的通解是它的□个独立特解的线性组合,其系数是任意常数.非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解,这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得.求齐次方程的特解,当系数是常数时可归结为求一代数方程的根,这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时,则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得.至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外,可以求得通解的为数就更小了.□阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 □）早已为人们所知,并且在此后起着一定作用,但对通解的寻求仍无济于事. 在偏微分方程方面,一阶方程可以归结为一阶常微分方程组,但是如上所述,一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的.高阶方程中几乎只有少数二阶方程（如□,以及□,当用瀑布法时在一系列不变量中有一个开始为零的情形,和少数极个别的非线性方程如□□-□□□=□0等等）可以求得通解.在线性情形,推广常数变易法则是杜阿美原理.