（1）f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x），
可令t=x+1，则x=t-1，可得f（t）=lg（1+t）-lg（1-t），
即有f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
由1+x>0且1-x>0，解得-1<x<1，
则函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）由f（x）<1即lg（1+x）-lg（1-x）<1，
即为lg（1+x）<lg10（1-x），
可得0<1+x<10（1-x），
解得-1<x<

9

11

，
则不等式的解集为（-1，

9

11

）；
（3）证明：f（x）在（-1，1）上为增函数．
理由：设-1<m<n<1，则f（m）-f（n）=lg（1+m）-lg（1-m）-[lg（1+n）-lg（1-n）]
=lg

1+m

1-m

-lg

1+n

1-n

=lg

1+m

1-m

•

1-n

1+n

=lg

1+m

1+n

•

1-n

1-m

，
由于-1<m<n<1，可得1-m>1-n>0，1+n>1+m>0，
可得0<

1+m

1+n

<1，0<

1-n

1-m

<1，
则0<

1+m

1+n

•

1-n

1-m

<1，
即有lg

1+m

1+n

•

1-n

1-m

<0，
则f（m）-f（n）<0，即f（m）<f（n），
故f（x）在（-1，1）上为增函数． （1）f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x），
可令t=x+1，则x=t-1，可得f（t）=lg（1+t）-lg（1-t），
即有f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
由1+x>0且1-x>0，解得-1<x<1，
则函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）由f（x）<1即lg（1+x）-lg（1-x）<1，
即为lg（1+x）<lg10（1-x），
可得0<1+x<10（1-x），
解得-1<x<

9

11

，
则不等式的解集为（-1，

9

11

）；
（3）证明：f（x）在（-1，1）上为增函数．
理由：设-1<m<n<1，则f（m）-f（n）=lg（1+m）-lg（1-m）-[lg（1+n）-lg（1-n）]
=lg

1+m

1-m

-lg

1+n

1-n

=lg

1+m

1-m

•

1-n

1+n

=lg

1+m

1+n

•

1-n

1-m

，
由于-1<m<n<1，可得1-m>1-n>0，1+n>1+m>0，
可得0<

1+m

1+n

<1，0<

1-n

1-m

<1，
则0<

1+m

1+n

•

1-n

1-m

<1，
即有lg

1+m

1+n

•

1-n

1-m

<0，
则f（m）-f（n）<0，即f（m）<f（n），
故f（x）在（-1，1）上为增函数．