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我们知道,由平行线可得出“同位角相等”,“内错角相等”等结论,因此,在几何证明中,我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角.(1)如图a,点D在△ABC边BC的延长线上,请你猜想∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系,并请你在图中通过添加平行线的方法,证明你的猜想.猜想结论是证明:(2)如图b,四边形ABCD为一个凹四边形,请你利用(1)中你猜想的结论,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C;(3)如图c,已知BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF相交于点P,当∠BDC=130°,∠BAC=60°时,求∠

2019-06-01

我们知道,由平行线可得出“同位角相等”,“内错角相等”等结论,因此,在几何证明中,我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角.
(1)如图a,点D在△ABC边BC的延长线上,请你猜想∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系,并请你在图中通过添加平行线的方法,证明你的猜想.猜想结论是______证明:

(2)如图b,四边形ABCD为一个凹四边形,请你利用(1)中你猜想的结论,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C;
(3)如图c,已知BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF相交于点P,当∠BDC=130°,∠BAC=60°时,求∠EPC的度数.
优质解答
(1)如图,过点C作CE∥AB,
则∠A=∠ACE,∠B=∠ECD,
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD,
∴∠ACD=∠A+∠B;
故答案为:∠ACD=∠A+∠B.

(2)证明:如图,延长BD交AC于E,
在△ABE中,∠CED=∠A+∠B,
在△CDE中,∠BDC=∠CED+∠C,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;

(3)∵∠BDC=130°,∠BAC=60°,
∴∠ABD+∠ACD=130°-60°=70°,
∵BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,
∴∠PBD+∠PCD=
1
2
(∠ABD+∠ACD)=
1
2
×70°=35°,
∴∠BPC=∠BDC-(∠PBD+∠PCD)=130°-35°=95°,
∴∠EPC=180°-∠BPC=180°-95°=85°.
(1)如图,过点C作CE∥AB,
则∠A=∠ACE,∠B=∠ECD,
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD,
∴∠ACD=∠A+∠B;
故答案为:∠ACD=∠A+∠B.

(2)证明:如图,延长BD交AC于E,
在△ABE中,∠CED=∠A+∠B,
在△CDE中,∠BDC=∠CED+∠C,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;

(3)∵∠BDC=130°,∠BAC=60°,
∴∠ABD+∠ACD=130°-60°=70°,
∵BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,
∴∠PBD+∠PCD=
1
2
(∠ABD+∠ACD)=
1
2
×70°=35°,
∴∠BPC=∠BDC-(∠PBD+∠PCD)=130°-35°=95°,
∴∠EPC=180°-∠BPC=180°-95°=85°.
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