求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数请用以上方法解决下列问题：（1）求108与45的最大公约数；（2）求三个

2019-05-01

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求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数

请用以上方法解决下列问题：
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（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

优质解答

（1）108-45=63，
63-45=18，
27-18=9，
18-9=9，
所以108与45的最大公约数是9；

（2）先求104与78的最大公约数，
104-78=26，
78-26=52，
52-26=26，
所以104与78的最大公约数是26；
再求26与143的最大公约数，
143-26=117，
117-26=91，
91-26=65，
65-26=39，
39-26=13，
26-13=13，
所以，26与143的最大公约数是13，
∴78、104、143的最大公约数是13．（1）108-45=63，
63-45=18，
27-18=9，
18-9=9，
所以108与45的最大公约数是9；

（2）先求104与78的最大公约数，
104-78=26，
78-26=52，
52-26=26，
所以104与78的最大公约数是26；
再求26与143的最大公约数，
143-26=117，
117-26=91，
91-26=65，
65-26=39，
39-26=13，
26-13=13，
所以，26与143的最大公约数是13，
∴78、104、143的最大公约数是13．