一个有关积分的物理问题不要嫌题目长噢,就当做救我一面吧：设在宇宙中有密度为ρ的尘埃,这些尘埃相对惯性参考系是静止的.有一质量为m的航天器以初速v穿过宇宙尘埃,由于尘埃粘贴到航天器上,致使航天器的速度发生改变.求航天器的速度与其在尘埃中飞行时间的关系.为便于计算,设想航天器的外形是截面积为S的圆柱体.我是这样想的：经过时间 t 以后航天器增重ρSvt,这样根据动量守恒不是可以直接求到其速度与时间关系吗?·但是答案却是用到了积分：dm=ρSvdt,请问为什么要用到积分呢?
2019-03-29
一个有关积分的物理问题
不要嫌题目长噢,就当做救我一面吧：
设在宇宙中有密度为ρ的尘埃,这些尘埃相对惯性参考系是静止的.有一质量为m的航天器以初速v穿过宇宙尘埃,由于尘埃粘贴到航天器上,致使航天器的速度发生改变.求航天器的速度与其在尘埃中飞行时间的关系.为便于计算,设想航天器的外形是截面积为S的圆柱体.
我是这样想的：经过时间 t 以后航天器增重ρSvt,这样根据动量守恒不是可以直接求到其速度与时间关系吗?·但是答案却是用到了积分：dm=ρSvdt,请问为什么要用到积分呢?
优质解答
首先,要明白在尘埃中运动速度是不断变化的（不断减小）,所以黏贴到航天器上的尘埃的质量随时间也是越来越少的.
其次,对于这类题目,假设在时间t,航天器的速度是u（这个要与初速度v区分开）,
在很短时间dt内运动的距离是：ds=udt,
从而有体积为：dV=S*ds=Sudt的尘埃落入航天上,
此部分尘埃的质量为：dw=ρSudt,
再通过动量守恒定理可知：wu=mv（w为此是航天器的质量,因为之前以后部分尘埃落入航天器,在dt时间内可认为是不变的）,
则有：wdw=ρSmvdt,
两边积分可得：0.5w^2=ρSmvt+C,（t=0时,w=m；则：C=0.5m^2）
开方可得：w=根号下（2ρSmvt+m^2）,
带入动量守恒定理得速度与时间的关系为：u=mv/(根号下（2ρSmvt+m^2）)
首先,要明白在尘埃中运动速度是不断变化的（不断减小）,所以黏贴到航天器上的尘埃的质量随时间也是越来越少的.
其次,对于这类题目,假设在时间t,航天器的速度是u（这个要与初速度v区分开）,
在很短时间dt内运动的距离是：ds=udt,
从而有体积为：dV=S*ds=Sudt的尘埃落入航天上,
此部分尘埃的质量为：dw=ρSudt,
再通过动量守恒定理可知：wu=mv（w为此是航天器的质量,因为之前以后部分尘埃落入航天器,在dt时间内可认为是不变的）,
则有：wdw=ρSmvdt,
两边积分可得：0.5w^2=ρSmvt+C,（t=0时,w=m；则：C=0.5m^2）
开方可得：w=根号下（2ρSmvt+m^2）,
带入动量守恒定理得速度与时间的关系为：u=mv/(根号下（2ρSmvt+m^2）)