世上最难函数题求函数y=更号(x~2+1)+更号[（4-x)~2+4]的最小值.（提示,用纯几何方法做!）
2019-05-07
世上最难函数题
求函数y=更号(x~2+1)+更号[（4-x)~2+4]的最小值.
（提示,用纯几何方法做!）
优质解答
作直线AB,使线段AB的长度为4.
作线段AC垂直于AB,使AC长为2.作线段BD垂直于AB,并且使点D与C在AB的异侧,并且使BD＝1.
在直线AB上任取一点E,显然有CE+DE>=CD成立.
依照作法,可以知道线段和线段相交于一点E'.
显然,当仅当C,E,D共线,也就是E和E'重合时等号成立.
这个CD的长就是AC+BD的最小值.
设BE'=x,那么,直角△DBE’中：
DE'=根号下（BD^2+BE’^2）=根号下（1^2+x^2）=根号下（x^2+1）
同样在直角△DAE中：
E'C=根号下(AE'^2+AC^2)=根号下[(4-x)^2+2^2]=根号下[(4-x)^2+4]
在直角△CMD中有：
MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3;BM=AB=4
CD=根号下(MC^2+MB^2)=根号下(3^2+4^2)=5
所以y=根号下(x^2+1)+根号下[(4-x)^2+4]的最小值是CD=5.
作直线AB,使线段AB的长度为4.
作线段AC垂直于AB,使AC长为2.作线段BD垂直于AB,并且使点D与C在AB的异侧,并且使BD＝1.
在直线AB上任取一点E,显然有CE+DE>=CD成立.
依照作法,可以知道线段和线段相交于一点E'.
显然,当仅当C,E,D共线,也就是E和E'重合时等号成立.
这个CD的长就是AC+BD的最小值.
设BE'=x,那么,直角△DBE’中：
DE'=根号下（BD^2+BE’^2）=根号下（1^2+x^2）=根号下（x^2+1）
同样在直角△DAE中：
E'C=根号下(AE'^2+AC^2)=根号下[(4-x)^2+2^2]=根号下[(4-x)^2+4]
在直角△CMD中有：
MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3;BM=AB=4
CD=根号下(MC^2+MB^2)=根号下(3^2+4^2)=5
所以y=根号下(x^2+1)+根号下[(4-x)^2+4]的最小值是CD=5.