因式分解,也叫分解因式,

因式分解,是主谓短语,

分解因式,是动宾短语,

就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；

需要示意图,就看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.

正如分解质因数,

要把数字变成所有质数相乘的乘积,

分解因式,就要彻底分解,

尽可能降低各个因式的最高次数,

具体方法,

第一步,提公因式,

这也是最简单的方法,

公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了）,

而且,公因式还可能是一个式子,

例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)

原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n ) 

= ( a + b )( 5m + 5n ) 这样再提取系数 5

= 5( a + b )( m + n )

第二步,公式法,

就是把整式乘法的公式倒过来用,

a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,

a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,

a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,

a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,

a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,

熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,

平方差,还有两个完全平方相减的式子,

例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"

= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]

= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )

= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

完全平方式,应该注意

( a - b )"

= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"

= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"

而且

( a - b )" = [ a + (-b) ]"

= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"

公式或许就只有一个

( a + b )" = a" + 2ab + b"

立方和、立方差,分解因式变成五个项,

两个一次项、三个二次项,熟悉公式是难点,

就拿具体数字算一算,

2"' - 1 = 8 - 1 = 1 X 7

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )

我就是利用 “棋盘上的麦粒” 问题,熟悉了立方差

a"' - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 ),

a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b ),

立方差,原来两个立方相减,

两个一次项也是相减,三个二次项就都是相加,

立方和,a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" ),

就只有中间一个二次项 -ab 是减,其余都是相加.

第三步,二次三项式,

我建议,十字相乘结合分组分解法一同使用,

正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )

把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,

就能够分组提公因式进行分解.

Q 关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,

常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；

一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；

Q 如果常数项是正数,

一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；

或者,完全平方式也可以这样分解,

x" + 10x + 25

= x" + 5x + 5x + 25

= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )

= ( x + 5 )"

再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,

x" + 10x + 24

= x" + 4x + 6x + 24

= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )

= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,

x" - 10x + 24

= x" - 4x - 6x + 24

= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )

= ( x - 4 )( x - 6 )

Q 如果常数项是负数,

一次项系数就是分开两个项的相差数；

x" - 10x - 24

= x" - 12x + 2x - 24

= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )

= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,

x" + 10x - 24

= x" + 12x - 2x - 24

= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )

= ( x + 12 )( x - 2 )

最后,就要检验,

确保分解彻底,因式分解变形正确,

例如 x^6 - y^6,应该

= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )

= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )

相当于 64 - 1,

= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )

= 1 X 7 X 3 X 3

如果先用立方差,做成

= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )

= 1 X 3 X 21

就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.

正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,

现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,

各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,

看看不同的方式方法是不是同一个结果

这样才能够相互检验,确保解答正确.

因式分解,也叫分解因式,

因式分解,是主谓短语,

分解因式,是动宾短语,

就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；

需要示意图,就看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.

正如分解质因数,

要把数字变成所有质数相乘的乘积,

分解因式,就要彻底分解,

尽可能降低各个因式的最高次数,

具体方法,

第一步,提公因式,

这也是最简单的方法,

公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了）,

而且,公因式还可能是一个式子,

例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)

原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n ) 

= ( a + b )( 5m + 5n ) 这样再提取系数 5

= 5( a + b )( m + n )

第二步,公式法,

就是把整式乘法的公式倒过来用,

a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,

a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,

a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,

a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,

a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,

熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,

平方差,还有两个完全平方相减的式子,

例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"

= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]

= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )

= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

完全平方式,应该注意

( a - b )"

= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"

= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"

而且

( a - b )" = [ a + (-b) ]"

= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"

公式或许就只有一个

( a + b )" = a" + 2ab + b"

立方和、立方差,分解因式变成五个项,

两个一次项、三个二次项,熟悉公式是难点,

就拿具体数字算一算,

2"' - 1 = 8 - 1 = 1 X 7

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )

我就是利用 “棋盘上的麦粒” 问题,熟悉了立方差

a"' - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 ),

a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b ),

立方差,原来两个立方相减,

两个一次项也是相减,三个二次项就都是相加,

立方和,a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" ),

就只有中间一个二次项 -ab 是减,其余都是相加.

第三步,二次三项式,

我建议,十字相乘结合分组分解法一同使用,

正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )

把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,

就能够分组提公因式进行分解.

Q 关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,

常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；

一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；

Q 如果常数项是正数,

一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；

或者,完全平方式也可以这样分解,

x" + 10x + 25

= x" + 5x + 5x + 25

= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )

= ( x + 5 )"

再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,

x" + 10x + 24

= x" + 4x + 6x + 24

= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )

= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,

x" - 10x + 24

= x" - 4x - 6x + 24

= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )

= ( x - 4 )( x - 6 )

Q 如果常数项是负数,

一次项系数就是分开两个项的相差数；

x" - 10x - 24

= x" - 12x + 2x - 24

= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )

= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,

x" + 10x - 24

= x" + 12x - 2x - 24

= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )

= ( x + 12 )( x - 2 )

最后,就要检验,

确保分解彻底,因式分解变形正确,

例如 x^6 - y^6,应该

= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )

= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )

相当于 64 - 1,

= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )

= 1 X 7 X 3 X 3

如果先用立方差,做成

= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )

= 1 X 3 X 21

就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.

正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,

现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,

各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,

看看不同的方式方法是不是同一个结果

这样才能够相互检验,确保解答正确.