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1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆.
其二：平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆.
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O；定义中的定长即为半径,用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆中最长的弦为直径；
③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧；
④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；
⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
②推论（四条）
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧；
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.
4.圆心角与圆周角
（1）定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；
②圆周角：顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（2）定理及推论
①圆心角
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论一：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等；
推论二：在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
②圆周角
定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径；
推论二：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等；
推论三：圆内接四边形的对角互补.
5.点与圆的位置关系
（1）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况：圆内、圆上和圆外.
一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下：
点P 在⊙O 外 等价于d ＞r
点P 在⊙O 上 等价于d ＝r
点P 在⊙O 内 等价于d ＜r
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆.根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心.
（3）反证法
不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种证明方法就叫做反证法.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离,详述如下：
（1）相交
直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线.
（2）相切
直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点.
（3）相离
即直线和圆没有公共点.
假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到：
直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r
直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r
直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r
7.关于切线的定理
（1）切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点.
（2）切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（3）切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
（4）切线长
经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
（5）切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径.
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交,分述如下：
（1）相离
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心.
（2）相切
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切.
（3）相交
两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形.
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
11.弧长和扇形的面积（一些特殊符号不好输入,只好截图了）
12.圆锥的侧面积
要学习圆锥的相关面积的计算,先要了解一个概念——圆锥的母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.同一圆锥所有母线都相等.
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可以得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,而母线即为该扇形的半径,圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长.
在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系,即 ,有了这一关系式,关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解.
向左转|向右转
1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆.
其二：平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆.
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O；定义中的定长即为半径,用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆中最长的弦为直径；
③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧；
④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；
⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
②推论（四条）
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧；
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.
4.圆心角与圆周角
（1）定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；
②圆周角：顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（2）定理及推论
①圆心角
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论一：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等；
推论二：在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
②圆周角
定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径；
推论二：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等；
推论三：圆内接四边形的对角互补.
5.点与圆的位置关系
（1）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况：圆内、圆上和圆外.
一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下：
点P 在⊙O 外 等价于d ＞r
点P 在⊙O 上 等价于d ＝r
点P 在⊙O 内 等价于d ＜r
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆.根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心.
（3）反证法
不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种证明方法就叫做反证法.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离,详述如下：
（1）相交
直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线.
（2）相切
直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点.
（3）相离
即直线和圆没有公共点.
假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到：
直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r
直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r
直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r
7.关于切线的定理
（1）切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点.
（2）切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（3）切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
（4）切线长
经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
（5）切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径.
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交,分述如下：
（1）相离
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心.
（2）相切
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切.
（3）相交
两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形.
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
11.弧长和扇形的面积（一些特殊符号不好输入,只好截图了）
12.圆锥的侧面积
要学习圆锥的相关面积的计算,先要了解一个概念——圆锥的母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.同一圆锥所有母线都相等.
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可以得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,而母线即为该扇形的半径,圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长.
在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系,即 ,有了这一关系式,关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解.
向左转|向右转