高中数学 解析几何 圆锥曲线若AB是过二次曲线中心的任一条弦,M是二次曲线上异于A、B的任一点,且AM、BM均与坐标轴不平行,则对于椭圆 b^2·x^2 + a^2·y^2 = a^2·b^2 有kAM·kBM= -b^2/a^2.类似地,对于双曲线b^2·x^2 - a^2·y^2 = a^2·b^2 有 kAM·kBM = ? （答案为b^2/a^2） 要详细过程解释.谢谢.
2019-05-27
高中数学 解析几何 圆锥曲线
若AB是过二次曲线中心的任一条弦,M是二次曲线上异于A、B的任一点,且AM、BM均与坐标轴不平行,则对于椭圆 b^2·x^2 + a^2·y^2 = a^2·b^2
有kAM·kBM= -b^2/a^2.类似地,对于双曲线b^2·x^2 - a^2·y^2 = a^2·b^2 有 kAM·kBM = ? （答案为b^2/a^2） 要详细过程解释.谢谢.
优质解答
椭圆的：
设A,B所在直线为y=kx与椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²
联立得：(b²+a²k²)x²=a²b²
设A（x1,y1）B（x2,y2）M(m,n)
根据韦达定理
x1x2=(-a²b²)/(b²+a²k²)代入y=kx
y1y2=(-k²a²b²)/(b²+a²k²)
把M的坐标带入椭圆方程得n²=(a²b²-b²m²)/a²
kAM·kBM=(y1-n)(y2-n)/(x1-m)(x2-m)
=[y1y2-(y1+y2)n+n²]/[x1x2-(x1+x2)m+m²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦,所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM·kBM=[y1y2+n²]/[x1x2+m²]
把x1x2,y1y2,n²代入并整理就能得到kAM·kBM= -b^2/a^2
双曲线：
设A,B所在直线为y=kx与双曲线方程b²x²-a²y²=a²b²
联立得：(b²-a²k²)x²=a²b²
设A（x1,y1）B（x2,y2）M(m,n)
根据韦达定理
x1x2=(-a²b²)/(b²-a²k²)代入y=kx
y1y2=(-k²a²b²)/(b²-a²k²)
把M的坐标带入双曲线方程得n²=(a²b²+b²m²)/a²
kAM·kBM=(y1-n)(y2-n)/(x1-m)(x2-m)
=[y1y2-(y1+y2)n+n²]/[x1x2-(x1+x2)m+m²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦,所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM·kBM=[y1y2+n²]/[x1x2+m²]
把x1x2,y1y2,n²代入并整理就能得到kAM·kBM= b^2/a^2
（带入并整理这一步不是很好算啊,一定要仔细,否则就得不出正确结果.）
椭圆的：
设A,B所在直线为y=kx与椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²
联立得：(b²+a²k²)x²=a²b²
设A（x1,y1）B（x2,y2）M(m,n)
根据韦达定理
x1x2=(-a²b²)/(b²+a²k²)代入y=kx
y1y2=(-k²a²b²)/(b²+a²k²)
把M的坐标带入椭圆方程得n²=(a²b²-b²m²)/a²
kAM·kBM=(y1-n)(y2-n)/(x1-m)(x2-m)
=[y1y2-(y1+y2)n+n²]/[x1x2-(x1+x2)m+m²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦,所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM·kBM=[y1y2+n²]/[x1x2+m²]
把x1x2,y1y2,n²代入并整理就能得到kAM·kBM= -b^2/a^2
双曲线：
设A,B所在直线为y=kx与双曲线方程b²x²-a²y²=a²b²
联立得：(b²-a²k²)x²=a²b²
设A（x1,y1）B（x2,y2）M(m,n)
根据韦达定理
x1x2=(-a²b²)/(b²-a²k²)代入y=kx
y1y2=(-k²a²b²)/(b²-a²k²)
把M的坐标带入双曲线方程得n²=(a²b²+b²m²)/a²
kAM·kBM=(y1-n)(y2-n)/(x1-m)(x2-m)
=[y1y2-(y1+y2)n+n²]/[x1x2-(x1+x2)m+m²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦,所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM·kBM=[y1y2+n²]/[x1x2+m²]
把x1x2,y1y2,n²代入并整理就能得到kAM·kBM= b^2/a^2
（带入并整理这一步不是很好算啊,一定要仔细,否则就得不出正确结果.）