高中关于抛物线的问题,急辅导书书上是在y^2=2px(p＞0)推导出的以下结论：AB是抛物线y^2=2px(p＞0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,过A,B分别作准线l的垂线AC,BD,垂足分别为C,D,克证明以下结论：1.|AF|=p/1-cosα,|BF|=p/1+cosα.2.1/|AF|+1/|BF|=2/p.3.|AB|=x1+x2+p=2p/sin²α,4.y1×y2=-p²,x1×x2=p²/4.|y1-y2
2020-04-29
高中关于抛物线的问题,急
辅导书书上是在y^2=2px(p＞0)推导出的以下结论：AB是抛物线y^2=2px(p＞0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,过A,B分别作准线l的垂线AC,BD,垂足分别为C,D,克证明以下结论：
1.|AF|=p/1-cosα,|BF|=p/1+cosα.2.1/|AF|+1/|BF|=2/p.3.|AB|=x1+x2+p=2p/sin²α,4.y1×y2=-p²,x1×x2=p²/4.|y1-y2|=2p/sinα,以上结论是不是适用于书上4种情况的抛物线啊,貌似第3个结论就不适用于啊.有人能详细告诉我其他的抛物线的结论是什么吗?自学,搞不懂,
我是想问其他的抛物线的公式分别是什么.
优质解答
1 此处指的是点A在x轴上方 过点A作AG⊥x轴交x轴于点G 由抛物线定义 |AF|=x1+p/2
又因为 |FG|= |OG|- |OF|=x1-p/2 所以cosa= |FG|/|AF|=x1-p/2 /x1+p/2
∴ 1-cosα=p/x1+p/2 =p/AF| ∴ AF|=p/1-cosα, 同理 ,|BF|=p/1+cosα
2 由1知 .1/|AF|+1/|BF|=1-cosα/p+1+cosα/p=2/p
3 由定义, |AF|=x1+p/2 |BF|=x2+p/2 ∴ .|AB|=x1+x2+p
又由1知 .|AB|= |AF|+ |BF|=2p/sin²α
4 设过焦点的直线方程为x=my+p/2 与抛物线联立 整理得 y²-2pmy-p²=0
由根与系数的关系得y1×y2=-p² 又将x1,x2代入直线 有 x1=my1+p/2,x2=my2+p/2,
∴ x1×x2=(my1+p/20（my2+p/2）=m²y1y2+mp/2(y1+y2)+p²/4=-p²m²+2pm × mp/2+ p²/4=p²/4 ,
∵.|AB|= |AF|+ |BF| ∴ .|AB|sina=( |AF|+ |BF|)sina= =( AF|sina+ |BF|sina=|y1-y2|
即 2p/sinα=|y1-y2| ∴|y1-y2|= 2p/sinα
5 还可以证明A,O,D三点共线
6 过A,B两点的切线交点在准线上
1 此处指的是点A在x轴上方 过点A作AG⊥x轴交x轴于点G 由抛物线定义 |AF|=x1+p/2
又因为 |FG|= |OG|- |OF|=x1-p/2 所以cosa= |FG|/|AF|=x1-p/2 /x1+p/2
∴ 1-cosα=p/x1+p/2 =p/AF| ∴ AF|=p/1-cosα, 同理 ,|BF|=p/1+cosα
2 由1知 .1/|AF|+1/|BF|=1-cosα/p+1+cosα/p=2/p
3 由定义, |AF|=x1+p/2 |BF|=x2+p/2 ∴ .|AB|=x1+x2+p
又由1知 .|AB|= |AF|+ |BF|=2p/sin²α
4 设过焦点的直线方程为x=my+p/2 与抛物线联立 整理得 y²-2pmy-p²=0
由根与系数的关系得y1×y2=-p² 又将x1,x2代入直线 有 x1=my1+p/2,x2=my2+p/2,
∴ x1×x2=(my1+p/20（my2+p/2）=m²y1y2+mp/2(y1+y2)+p²/4=-p²m²+2pm × mp/2+ p²/4=p²/4 ,
∵.|AB|= |AF|+ |BF| ∴ .|AB|sina=( |AF|+ |BF|)sina= =( AF|sina+ |BF|sina=|y1-y2|
即 2p/sinα=|y1-y2| ∴|y1-y2|= 2p/sinα
5 还可以证明A,O,D三点共线
6 过A,B两点的切线交点在准线上