n个小球放入m个盒子中,n大于m,问每个盒子至少有一个小球的概率是多少?我是先假设只有2个盒子,在用反证法求得其概率.然后假设3,4,m.但是我若假设有m个盒子,必须要知道（m-1）（m-2）~3乘2个盒子~,这样就得不到一个漂亮的结果了,
2019-05-29
n个小球放入m个盒子中,n大于m,问每个盒子至少有一个小球的概率是多少?
我是先假设只有2个盒子,在用反证法求得其概率.然后假设3,4,m.但是我若假设有m个盒子,必须要知道（m-1）（m-2）~3乘2个盒子~,这样就得不到一个漂亮的结果了,
优质解答
设想球有编号1,2.n,盒子也有编号1.m
Ai表示第i个盒子空,i=1,2...m则
P(Ai)=(1-1/m)^n
P(AiAj)=(1-2/m)^n
P(AiAjAk)=(1-3/m)^n,.由多个事件的和事件的概率公式得
至少有一个盒子空的概率=P(A1∪A2∪...∪Am)=m(1-1/m)^n-C(m,2)(1-2/m)^n+C(m,3)(1-3/m)^n+...+(-1)^(m-2)C(m,m-1)[1-(m-1)/m]^n (一般项为(-1)^(k-1)C(m.k)(1-k/m)^n,k=1,2,...,m-1)
盒子全都不空的概率
=1-P(A1∪A2∪...∪Am)
设想球有编号1,2.n,盒子也有编号1.m
Ai表示第i个盒子空,i=1,2...m则
P(Ai)=(1-1/m)^n
P(AiAj)=(1-2/m)^n
P(AiAjAk)=(1-3/m)^n,.由多个事件的和事件的概率公式得
至少有一个盒子空的概率=P(A1∪A2∪...∪Am)=m(1-1/m)^n-C(m,2)(1-2/m)^n+C(m,3)(1-3/m)^n+...+(-1)^(m-2)C(m,m-1)[1-(m-1)/m]^n (一般项为(-1)^(k-1)C(m.k)(1-k/m)^n,k=1,2,...,m-1)
盒子全都不空的概率
=1-P(A1∪A2∪...∪Am)