帮忙做道高数题!导数与微积分的y’=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2),y(1)=-1,求y
2019-04-14
帮忙做道高数题!导数与微积分的
y’=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2),y(1)=-1,求y
优质解答
令y=tx（当然这个t是关于x的函数）
那么y'=t'x+t,原式变为：
t'x+t=【(tx）^2-2x*tx-x^2)】/【(tx)^2+2x*tx-x^2)】
t'x+t=(t^2-2t-1）/(t^2+2t-1)
t'x=-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)
下面是换成微分的形式,运用t'=dt/dx,得到：
一、当t不等于-1时；
【-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)】dt=【1/x】dx
两边分别积分：
注意到-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)=1/(t+1)-2t/(t^2+1)
所以积分得到ln|t+1|-ln|t^2+1|=ln|x|+C (C为常数)
化简得到|(t+1)/(t^2+1)|=e^C * |x|
脱去绝对值符号后得到 (t+1)/(t^2+1)=正负e^C * x
(t+1)/(t^2+1)=cx(c为非0常数,注意这里的c与C不通)
即x+y=c(x^2+y^2) (c为非0常数） 1式
二、等t=-1时,左边t'x=0,右边-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)=0
这说明t=-1是方程的特解,即x+y=0 2式
综合1式和2式我们得到最终的通解为：
将y=tx代入得到：
x+y=c‘(x^2+y^2) （c’为常数） 3式
因为y(1)=-1
所以1+（-1）=c‘（1^2+(-1)^2）
c’=0
把c‘=0代入到3式中得到原题答案为：
y=-x
令y=tx（当然这个t是关于x的函数）
那么y'=t'x+t,原式变为：
t'x+t=【(tx）^2-2x*tx-x^2)】/【(tx)^2+2x*tx-x^2)】
t'x+t=(t^2-2t-1）/(t^2+2t-1)
t'x=-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)
下面是换成微分的形式,运用t'=dt/dx,得到：
一、当t不等于-1时；
【-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)】dt=【1/x】dx
两边分别积分：
注意到-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)=1/(t+1)-2t/(t^2+1)
所以积分得到ln|t+1|-ln|t^2+1|=ln|x|+C (C为常数)
化简得到|(t+1)/(t^2+1)|=e^C * |x|
脱去绝对值符号后得到 (t+1)/(t^2+1)=正负e^C * x
(t+1)/(t^2+1)=cx(c为非0常数,注意这里的c与C不通)
即x+y=c(x^2+y^2) (c为非0常数） 1式
二、等t=-1时,左边t'x=0,右边-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)=0
这说明t=-1是方程的特解,即x+y=0 2式
综合1式和2式我们得到最终的通解为：
将y=tx代入得到：
x+y=c‘(x^2+y^2) （c’为常数） 3式
因为y(1)=-1
所以1+（-1）=c‘（1^2+(-1)^2）
c’=0
把c‘=0代入到3式中得到原题答案为：
y=-x