一道大学高数题：y''=y'+x 求y各种方法都试了.
2019-05-23
一道大学高数题：y''=y'+x 求y各种方法都试了.
优质解答
解法一：∵齐次方程y''=y'的特征方程是r²=r,则r1=1,r2=0
∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ax²+Bx
代入原方程得2A=2Ax+B+x
==>2A=B,2A+1=0
==>A=-1/2,B=-1
∴原方程的特解是y=-x²/2-x
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数).
解法二：(常数变易法)
令y'=p,则y''=p'
代入原方程得p'=p+x.(1)
∵方程(1)的齐次方程是p'=p
==>dp/dx=p
==>dp/p=dx
==>ln│p│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Ce^x
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为 p=C(x)e^x (C(x)表示关于x的函数)
∵p'=C'(x)e^x+C(x)e^x
代入方程(1),得C'(x)e^x+C(x)e^x=C(x)e^x+x
==>C'(x)e^x=x
==>C'(x)=xe^(-x)
==>C(x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e(-x)+C1 (C1是积分常数)
∴方程(1)的通解是p=[-xe^(-x)-e(-x)+C1]e^x=-x-1+C1e^x
==>y'=-x-1+C1e^x
==>y=∫(-x-1+C1e^x)dx=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C2是积分常数)
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数).
解法一：∵齐次方程y''=y'的特征方程是r²=r,则r1=1,r2=0
∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ax²+Bx
代入原方程得2A=2Ax+B+x
==>2A=B,2A+1=0
==>A=-1/2,B=-1
∴原方程的特解是y=-x²/2-x
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数).
解法二：(常数变易法)
令y'=p,则y''=p'
代入原方程得p'=p+x.(1)
∵方程(1)的齐次方程是p'=p
==>dp/dx=p
==>dp/p=dx
==>ln│p│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Ce^x
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为 p=C(x)e^x (C(x)表示关于x的函数)
∵p'=C'(x)e^x+C(x)e^x
代入方程(1),得C'(x)e^x+C(x)e^x=C(x)e^x+x
==>C'(x)e^x=x
==>C'(x)=xe^(-x)
==>C(x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e(-x)+C1 (C1是积分常数)
∴方程(1)的通解是p=[-xe^(-x)-e(-x)+C1]e^x=-x-1+C1e^x
==>y'=-x-1+C1e^x
==>y=∫(-x-1+C1e^x)dx=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C2是积分常数)
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数).