高中数学必修4复习资料

2、角 的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角．
第一象限角的集合为 二象限
第三象限 第四象限
终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角的集合为
4、已知 是第几象限角,确定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份,再从 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度．
6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ,则角 的弧度数的绝对值是 ．
7、弧度制与角度制的换算公式： , , ．
8、若扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为 ,周长为 ,面积为 ,则 , , ．
9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,它与原点的距离是 ,则 , , ．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正．
11、三角函数线： , , ．
12、同角三角函数的基本关系：
；
．
13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变,符号看象限．）
, , ．
, , ．
, , ．
, , ．
, ．
, ．
14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变）,得到函数 的图象．
函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变）,得到函数 的图象．
函数 的性质：
①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．
函数 ,当 时,取得最小值为 ；当 时,取得最大值为 ,则 , , ．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

16、向量：既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小,没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：①交换律： ；②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算：设 , ,则 ．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 , ,则 ．
设 、 两点的坐标分别为 , ,则 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ．
① ；
②当 时, 的方向与 的方向相同；当 时, 的方向与 的方向相反；当 时, ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ,则 ．
20、向量共线定理：向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 ．
设 , ,其中 ,则当且仅当 时,向量 、 共线．
21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点, 、 的坐标分别是 , ,当 时,点 的坐标是 ．
23、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
⑵性质：设 和 都是非零向量,则① ．②当 与 同向时, ；当 与 反向时, ； 或 ．③ ．
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 , ,则 ．
若 ,则 ,或 ．
设 , ,则 ．
设 、 都是非零向量, , , 是 与 的夹角,则 ．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ （ ）；
⑹ （ ）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
(1) ． （2） (3)
(4) （ , ）．
26、 ,其中 ．
三角函数基础训练题
一．选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、角α的终边落在区间（－3π,－52 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知角α的终边过点P（－1,2）,cos 的值为 （ ）
A．－ B．－5 C． D．
4、如果 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、函数 的图象可看作是函数 的图象,经过如下平移得到的,其中正确的是（　　）.
　A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
6、与函数 图象不相交的一条直线是（ ）.
A． B． C． D．
7、α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A．sin B．cos C．tan D．
8、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．±34 B．± C． D．－
9、如果角 满足 ,那么 的值是 （ ）
A． B． C． D．
10、sin •cos •tan 的值是（ ）
A．－  B．  C．－ D．
11、已知 那么 （ ）
A． B． C． D．
12、已知 ,那么 的值为　（　　）
A.　 　　　 B. 　 　　　 　C.　 　　　 　D.
13、 的值是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
14、函数 的定义域为（ ）.
A． B．
C. D． 且
二．填空题
15、函数 的周期是________________________.
16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．
17、若 ,则 的值为____________．
18、已知sin tan ≥0,则 的取值集合为 ．
19、函数 的图象的对称轴方程是
20、函数 的最小正周期是
21、已知sinθ+cosθ＝ (0＜θ＜π ,则cos2θ的值为
22、记 ,（ 、 、 、 均为非零实数）,
若 ,则 =
三.解答题
23、若函数 ,⑴画出函数在区间 上的简图；⑵指出函数在区间 上的单调区间及单调性,最大值和最小值．
24、已知 ,求 的值.
25、已知 为第二象限角,

26、求值:
27、⑴化简 ；
⑵证明： ．
28、已知 , 是方程 的两根,求 的值．
29、已知A、B、C三点的坐标分别是A（3,0）,B（0,3）,C ,其中 ,
（1）若 ,求角 的值；
（2）若 ,求 的值.
平面向量基础训练题
一、选择题
1．若向量 =（1,1）, =（1,-1）, =（-1,2）,则 等于（ ）
A．  B．  C． D．
2．若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b的数量积等于（ ）
A．–45 B．45 C．–1 D．1
3． O是ΔABC所在的平面内的一点,且满足（ - ）•（ + -2 ）=0,则ΔABC的形状一定为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形
4．下面的四个命题：① ；② ；
③若 ；④若
其中真命题是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
5．将抛物线 的图象按向量 平移,使其顶点与坐标原点重合,则 =（ ）
A．（2,-3）B．（-2,-3）C．（-2,3）D．（2,3）
6．下列四个命题,其中正确的个数有（ ）
①对于实数m和向量
②对于实数m, n 和向量
③若 ④若
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知 ,则向量 在向量 上的投影为（ ）
A． B．3C．4D．5
8．已知向量 =（3,-2）, =（-5,-1）,则 等于（ ）
A．（8,1） B．（-8,1） C．（4,- ） D．（-4, ）
9．已知|p|= ,|q|=3,p,q的夹角为 ,则以a=5p+2q,b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A．15 B． C．14 D．16
10．设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a•b等于（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
11．若|a|=|b|=1,a⊥b且2a+3b与ka-4b也互相垂直,则实数k的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
12．设a、b、c为平面向量,下面的命题中：①a•（b-c）=a•b-a•c；②（a•b）•c=a•(b•c)；③（a-b）2=|a|2-2|a|•|b|+|b|2；④若a•b=0,则a=0或b=0.正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
13．已知e是单位向量,求满足a∥e且a•e =－18的向量a=_______.
14．设a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b) ⊥(a－b), 则m=___ ___.
15．若 • + = 0,则ΔABC的形状为 .
16．把函数 的图象按向量a平移,得到 的图象,且a⊥b,c=（1,-1）,b•c=4,则b= .
13．－18e 14．－2 15．直角三角形 16．（3,-1）
17、若 , ,则 的数量积为 .
18、向量 与 共线且方向相同,则 =　　　　　　.
19、已知A（3,y）,B（ ,2）,C（6, ）三点共线,则y=_________.
20、已知 =(－3,4),若 ＝1, ⊥ ,则 = .
21、非零向量 和 满足： ,则 与 的夹角等于 .
22、已知| |=10,| |=12,且（3 ）•（ ）=－36,则 与 的夹角是 .
23、如果 ＝1, ＝2, 与 的夹角为 ,则 等于 .
三、解答题
24．已知向量a=e1-e2,b=4 e1+3 e2,其中e1=（1,0）,e2=（0,1）.
（Ⅰ）试计算a•b及|a+ b|的值； （Ⅱ）求向量a与b的夹角的余弦值.
25．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
（Ⅰ）求证：（a－b）⊥c； （Ⅱ）若|ka+b+c|>1（k∈R）,求k的取值范围.
26．已知f（A,B）= .
（Ⅰ）设A、B、C为ΔABC内角,当f（A, B）取得最小值是,求∠C；
（Ⅱ）当A+B= 且A、B∈R时,y=f（A, B）的图象通过向量p的平移得到函数y=2cos2A的图象,求向量p.
27．平面直角坐标系内有点P（1,cosx）,Q（cosx,1）, .
（Ⅰ）求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（Ⅱ）求θ的最值.
28．已知a =（cos ,sin ）,b=（cos ,sin ）,a与b之间有关系式|ka+b |= |a-ka|,其中k>0.
（Ⅰ）用k表示a•b；（Ⅱ）求a•b的最小值,并求此时a与b的夹角θ的大小.
29．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =（1,2）
（Ⅰ）若| | ,且 ,求 的坐标；
（Ⅱ）若| |= 且 与 垂直,求 与 的夹角θ. 高中数学必修4复习资料

2、角 的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角．
第一象限角的集合为 二象限
第三象限 第四象限
终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角的集合为
4、已知 是第几象限角,确定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份,再从 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度．
6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ,则角 的弧度数的绝对值是 ．
7、弧度制与角度制的换算公式： , , ．
8、若扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为 ,周长为 ,面积为 ,则 , , ．
9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,它与原点的距离是 ,则 , , ．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正．
11、三角函数线： , , ．
12、同角三角函数的基本关系：
；
．
13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变,符号看象限．）
, , ．
, , ．
, , ．
, , ．
, ．
, ．
14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变）,得到函数 的图象．
函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变）,得到函数 的图象．
函数 的性质：
①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．
函数 ,当 时,取得最小值为 ；当 时,取得最大值为 ,则 , , ．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

16、向量：既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小,没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：①交换律： ；②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算：设 , ,则 ．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 , ,则 ．
设 、 两点的坐标分别为 , ,则 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ．
① ；
②当 时, 的方向与 的方向相同；当 时, 的方向与 的方向相反；当 时, ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ,则 ．
20、向量共线定理：向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 ．
设 , ,其中 ,则当且仅当 时,向量 、 共线．
21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点, 、 的坐标分别是 , ,当 时,点 的坐标是 ．
23、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
⑵性质：设 和 都是非零向量,则① ．②当 与 同向时, ；当 与 反向时, ； 或 ．③ ．
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 , ,则 ．
若 ,则 ,或 ．
设 , ,则 ．
设 、 都是非零向量, , , 是 与 的夹角,则 ．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ （ ）；
⑹ （ ）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
(1) ． （2） (3)
(4) （ , ）．
26、 ,其中 ．
三角函数基础训练题
一．选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、角α的终边落在区间（－3π,－52 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知角α的终边过点P（－1,2）,cos 的值为 （ ）
A．－ B．－5 C． D．
4、如果 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、函数 的图象可看作是函数 的图象,经过如下平移得到的,其中正确的是（　　）.
　A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
6、与函数 图象不相交的一条直线是（ ）.
A． B． C． D．
7、α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A．sin B．cos C．tan D．
8、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．±34 B．± C． D．－
9、如果角 满足 ,那么 的值是 （ ）
A． B． C． D．
10、sin •cos •tan 的值是（ ）
A．－  B．  C．－ D．
11、已知 那么 （ ）
A． B． C． D．
12、已知 ,那么 的值为　（　　）
A.　 　　　 B. 　 　　　 　C.　 　　　 　D.
13、 的值是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
14、函数 的定义域为（ ）.
A． B．
C. D． 且
二．填空题
15、函数 的周期是________________________.
16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．
17、若 ,则 的值为____________．
18、已知sin tan ≥0,则 的取值集合为 ．
19、函数 的图象的对称轴方程是
20、函数 的最小正周期是
21、已知sinθ+cosθ＝ (0＜θ＜π ,则cos2θ的值为
22、记 ,（ 、 、 、 均为非零实数）,
若 ,则 =
三.解答题
23、若函数 ,⑴画出函数在区间 上的简图；⑵指出函数在区间 上的单调区间及单调性,最大值和最小值．
24、已知 ,求 的值.
25、已知 为第二象限角,

26、求值:
27、⑴化简 ；
⑵证明： ．
28、已知 , 是方程 的两根,求 的值．
29、已知A、B、C三点的坐标分别是A（3,0）,B（0,3）,C ,其中 ,
（1）若 ,求角 的值；
（2）若 ,求 的值.
平面向量基础训练题
一、选择题
1．若向量 =（1,1）, =（1,-1）, =（-1,2）,则 等于（ ）
A．  B．  C． D．
2．若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b的数量积等于（ ）
A．–45 B．45 C．–1 D．1
3． O是ΔABC所在的平面内的一点,且满足（ - ）•（ + -2 ）=0,则ΔABC的形状一定为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形
4．下面的四个命题：① ；② ；
③若 ；④若
其中真命题是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
5．将抛物线 的图象按向量 平移,使其顶点与坐标原点重合,则 =（ ）
A．（2,-3）B．（-2,-3）C．（-2,3）D．（2,3）
6．下列四个命题,其中正确的个数有（ ）
①对于实数m和向量
②对于实数m, n 和向量
③若 ④若
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知 ,则向量 在向量 上的投影为（ ）
A． B．3C．4D．5
8．已知向量 =（3,-2）, =（-5,-1）,则 等于（ ）
A．（8,1） B．（-8,1） C．（4,- ） D．（-4, ）
9．已知|p|= ,|q|=3,p,q的夹角为 ,则以a=5p+2q,b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A．15 B． C．14 D．16
10．设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a•b等于（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
11．若|a|=|b|=1,a⊥b且2a+3b与ka-4b也互相垂直,则实数k的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
12．设a、b、c为平面向量,下面的命题中：①a•（b-c）=a•b-a•c；②（a•b）•c=a•(b•c)；③（a-b）2=|a|2-2|a|•|b|+|b|2；④若a•b=0,则a=0或b=0.正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
13．已知e是单位向量,求满足a∥e且a•e =－18的向量a=_______.
14．设a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b) ⊥(a－b), 则m=___ ___.
15．若 • + = 0,则ΔABC的形状为 .
16．把函数 的图象按向量a平移,得到 的图象,且a⊥b,c=（1,-1）,b•c=4,则b= .
13．－18e 14．－2 15．直角三角形 16．（3,-1）
17、若 , ,则 的数量积为 .
18、向量 与 共线且方向相同,则 =　　　　　　.
19、已知A（3,y）,B（ ,2）,C（6, ）三点共线,则y=_________.
20、已知 =(－3,4),若 ＝1, ⊥ ,则 = .
21、非零向量 和 满足： ,则 与 的夹角等于 .
22、已知| |=10,| |=12,且（3 ）•（ ）=－36,则 与 的夹角是 .
23、如果 ＝1, ＝2, 与 的夹角为 ,则 等于 .
三、解答题
24．已知向量a=e1-e2,b=4 e1+3 e2,其中e1=（1,0）,e2=（0,1）.
（Ⅰ）试计算a•b及|a+ b|的值； （Ⅱ）求向量a与b的夹角的余弦值.
25．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
（Ⅰ）求证：（a－b）⊥c； （Ⅱ）若|ka+b+c|>1（k∈R）,求k的取值范围.
26．已知f（A,B）= .
（Ⅰ）设A、B、C为ΔABC内角,当f（A, B）取得最小值是,求∠C；
（Ⅱ）当A+B= 且A、B∈R时,y=f（A, B）的图象通过向量p的平移得到函数y=2cos2A的图象,求向量p.
27．平面直角坐标系内有点P（1,cosx）,Q（cosx,1）, .
（Ⅰ）求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（Ⅱ）求θ的最值.
28．已知a =（cos ,sin ）,b=（cos ,sin ）,a与b之间有关系式|ka+b |= |a-ka|,其中k>0.
（Ⅰ）用k表示a•b；（Ⅱ）求a•b的最小值,并求此时a与b的夹角θ的大小.
29．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =（1,2）
（Ⅰ）若| | ,且 ,求 的坐标；
（Ⅱ）若| |= 且 与 垂直,求 与 的夹角θ.