正方形ABCD边长为4,M N分别是BC和CD上的两个动点,当M在BC上运动时,保持AM和MN垂直.设BM=x,当M点运动到什么位置时Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN,求此时x的值.
2019-04-10
正方形ABCD边长为4,M N分别是BC和CD上的两个动点,当M在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
设BM=x,当M点运动到什么位置时Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN,求此时x的值.
优质解答
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以,∠BAM+∠AMB=90°
又,AM⊥MN
所以,∠AMN=90°
所以,∠AMB+∠CMN=90°
所以,∠BAM=∠CMN
而,∠B=∠C=90°
所以,Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时,即BC的中点
四边形ABCN面积最大,最大面积=10
（3）.
因为Rt△ABM∽Rt△AMN,其中∠ABM=∠AMN=90°
所以,∠BAM=∠MAN
所以：AB/AM=BM/MN
在Rt△ABM中,由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知,CN=x(4-x)/4
所以,在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以,∠BAM+∠AMB=90°
又,AM⊥MN
所以,∠AMN=90°
所以,∠AMB+∠CMN=90°
所以,∠BAM=∠CMN
而,∠B=∠C=90°
所以,Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）.
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时,即BC的中点
四边形ABCN面积最大,最大面积=10
（3）.
因为Rt△ABM∽Rt△AMN,其中∠ABM=∠AMN=90°
所以,∠BAM=∠MAN
所以：AB/AM=BM/MN
在Rt△ABM中,由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知,CN=x(4-x)/4
所以,在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2