数学
请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi（973-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是

2019-05-22

请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al-Binmi（973-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是
ABC
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是
ABC
的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于 O，AB=2，D为
AC
上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是___．
作业帮
优质解答
作业帮（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是
ABC
的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵
BA=GC
∠A=∠C
MA=MC
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，作业帮
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2） 如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵
AB=AC
∠ABF=∠ACD
BF=DC
，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=
AB
2
=
2
，
则△BDC的周长是2+2
2
．
故答案为：2+2
2
． 作业帮（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是
ABC
的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵
BA=GC
∠A=∠C
MA=MC
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，作业帮
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2） 如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵
AB=AC
∠ABF=∠ACD
BF=DC
，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=
AB
2
=
2
，
则△BDC的周长是2+2
2
．
故答案为：2+2
2
．
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