高一上学期关于函数的数学题：定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）
2019-04-14
高一上学期关于函数的数学题：
定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）
优质解答
1.证 令 x=y=0 得 2f(0) = 2f(0)^2 因为 f(x) ≠ 0 故 f(x) = 1
2.解 令y=0 得 f(x)=f[(x+y)/2 + (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f[(x+y)/2 - (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f(y)
f(-x) = f[(y-x)/2 - (y+x)/2]
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f([(y-x)/2 + (y+x)/2)
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f(y)
f(x)=f(-x)
故函数f(x) 为偶函数
1.证 令 x=y=0 得 2f(0) = 2f(0)^2 因为 f(x) ≠ 0 故 f(x) = 1
2.解 令y=0 得 f(x)=f[(x+y)/2 + (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f[(x+y)/2 - (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f(y)
f(-x) = f[(y-x)/2 - (y+x)/2]
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f([(y-x)/2 + (y+x)/2)
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f(y)
f(x)=f(-x)
故函数f(x) 为偶函数