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【31. 2012娄底】
24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1,0）和点B（x2,0）,x1＜x2,与y轴交于点C,且满足．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标；如果没有,请说明理由．
（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1,0）和点B（x2,0）,x1＜x2,
令y=0,即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①,则有：
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m．∴===,
化简得到：m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1．
当m=﹣2时,方程①为：x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去；
当m=1时,方程①为：x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9＞0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意．∴m=1,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形．
如图所示,连接PA．PB．AC．BC,过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点,与y轴交于C点,
∴A（﹣2,0）,B（1,0）,C（0,2）,∴OB=1,OC=2．
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵,∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,∴直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1,∴P（﹣1,2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为（﹣1,2）．
【32. 2012福州】
22．(满分14分)如图①,已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO＝∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4)．
∴,解得：．∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2)设直线OB的解析式为y＝k1x,由点B(4,4),
得：4＝4k1,解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．
∵点D在抛物线y＝x2－3x上．
∴可设D(x,x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上,
∴x2－3x＝x－m,即x2－4x＋m＝0．
∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△＝16－4m＝0,解得：m＝4．
此时x1＝x2＝2,y＝x2－3x＝－2,∴D点坐标为(2,－2)．
(3)∵直线OB的解析式为y＝x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)．
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3,过点B(4,4),
∴4k2＋3＝4,解得：k2＝．∴直线A'B的解析式是y＝x＋3．
∵∠NBO＝∠ABO,∴点N在直线A'B上,
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n,n＋3),又点N在抛物线y＝x2－3x上,
∴n＋3＝n2－3n,
解得：n1＝－,n2＝4(不合题意,会去),∴点N的坐标为(－,)．
方法一：如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(－,－),B1(4,－4),∴O、D、B1都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,∴＝＝,∴点P1的坐标为(－,－)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)．
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述,点P的坐标是(－,－)或(,)．
方法二：如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(,),B2(4,－4),
∴O、D、B2都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N2OB2,
∴＝＝,∴点P1的坐标为(,)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折,可得另一个满足条件的点P2(－,－)．
综上所述,点P的坐标是(－,－)或(,)．
【33. 2012南昌】
27．如图,已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边）,与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度；如果会,请说明理由．
（1）抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣=﹣=2,==﹣1；
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标（2,﹣1）．
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2或定点的横坐标为2,都经过A（1,0）,B（3,0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,
解得：x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,∴线段EF的长度不会发生变化．
【34.2012•恩施州】
24．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标；若不能,请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值．
（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1,0）及C（2,3）得,
,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1,0）及C（2,3）得
,解得故直线AC为y=x+1；
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′（6,3）,由（1）得D（1,4）,
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1,4）,B（1,2）
∵点E在直线AC上,
设E（x,x+1）,
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）,
∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1（舍去）∴E（0,1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,
则F（x,x﹣1）由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=
∴E（,）或（,）
综上,满足条件的点E为E（0,1）、（,）或（,）；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G,如图1
设Q（x,x+1）,则P（x,﹣x2+2x+3）
∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x﹣1）=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q（x,x+1）,则P（x,﹣x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+
∴△APC的面积的最大值为．
【35. 2012•兰州】
28．如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(－3,0)、(0,4),抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B,且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由；
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标；若不存在,说明理由．
(1)∵抛物线y＝经过点B(0,4)∴c＝4,
∵顶点在直线x＝上,
∴；∴所求函数关系式为；
(2)在Rt△ABO中,OA＝3,OB＝4,∴AB＝,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC＝CD＝DA＝AB＝5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x＝5时,y＝,
当x＝2时,y＝,
∴点C和点D都在所求抛物线上；
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b,则,
解得：,∴,
当x＝时,y＝,∴P(),
(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON＝,
设对称轴交x于点F,
则(PF＋OM)•OF＝(＋t)×,
∵,
()×＝,
S＝(－),＝－(0＜t＜4),S存在最大值．
由S＝－(t－)2＋,∴当S＝时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,)．
【36. 2012南通】
28．（本小题满分14分）
如图,经过点A(0,－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0,0)和C,O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度,得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上,∠OMB＋∠OAB＝∠ACB,求AM的长．
【解答】（1）将A（0,-4）、B（-2,0）代入抛物线y=x2+bx+c中,得：
0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ,
解得：b=-1 c=-4
∴抛物线的解析式：y=x2-x-4．
（2）由题意,新抛物线的解析式可表示为：
y=（x+m）2-（x+m）-4+7 2,
即：y=x2+（m-1）x+12 m2-m-1 2；
它的顶点坐标P：（1-m,-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4,0）；
那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时,-2（1-m）-4=-1,解得：m=5 2；
当点P在直线AC上时,（1-m）-4=-1,解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时,-2＜m＜5 2；
又∵m＞0,
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2．
（3）由A（0,-4）、B（4,0）得：OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形；
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB；
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得：AB2=AN•AM1；
易得：AB2=（-2）2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上,AM的长为6或2．
【36. 2012常德】
25、如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3）,B(4,4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请
说明理由.
（1）将A(-4,3）,B(4,4)代人中,整理得：
解得
∴二次函数的解析式为： ,
整理得：
（2）由 整理
∴X1=-2 ,X2= ∴C（-2,0）D
从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
（3）设 （X
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【31. 2012娄底】
24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1,0）和点B（x2,0）,x1＜x2,与y轴交于点C,且满足．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标；如果没有,请说明理由．
（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1,0）和点B（x2,0）,x1＜x2,
令y=0,即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①,则有：
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m．∴===,
化简得到：m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1．
当m=﹣2时,方程①为：x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去；
当m=1时,方程①为：x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9＞0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意．∴m=1,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形．
如图所示,连接PA．PB．AC．BC,过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点,与y轴交于C点,
∴A（﹣2,0）,B（1,0）,C（0,2）,∴OB=1,OC=2．
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵,∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,∴直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1,∴P（﹣1,2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为（﹣1,2）．
【32. 2012福州】
22．(满分14分)如图①,已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO＝∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4)．
∴,解得：．∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2)设直线OB的解析式为y＝k1x,由点B(4,4),
得：4＝4k1,解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．
∵点D在抛物线y＝x2－3x上．
∴可设D(x,x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上,
∴x2－3x＝x－m,即x2－4x＋m＝0．
∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△＝16－4m＝0,解得：m＝4．
此时x1＝x2＝2,y＝x2－3x＝－2,∴D点坐标为(2,－2)．
(3)∵直线OB的解析式为y＝x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)．
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3,过点B(4,4),
∴4k2＋3＝4,解得：k2＝．∴直线A'B的解析式是y＝x＋3．
∵∠NBO＝∠ABO,∴点N在直线A'B上,
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n,n＋3),又点N在抛物线y＝x2－3x上,
∴n＋3＝n2－3n,
解得：n1＝－,n2＝4(不合题意,会去),∴点N的坐标为(－,)．
方法一：如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(－,－),B1(4,－4),∴O、D、B1都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,∴＝＝,∴点P1的坐标为(－,－)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)．
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述,点P的坐标是(－,－)或(,)．
方法二：如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(,),B2(4,－4),
∴O、D、B2都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N2OB2,
∴＝＝,∴点P1的坐标为(,)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折,可得另一个满足条件的点P2(－,－)．
综上所述,点P的坐标是(－,－)或(,)．
【33. 2012南昌】
27．如图,已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边）,与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度；如果会,请说明理由．
（1）抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣=﹣=2,==﹣1；
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标（2,﹣1）．
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2或定点的横坐标为2,都经过A（1,0）,B（3,0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,
解得：x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,∴线段EF的长度不会发生变化．
【34.2012•恩施州】
24．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标；若不能,请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值．
（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1,0）及C（2,3）得,
,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1,0）及C（2,3）得
,解得故直线AC为y=x+1；
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′（6,3）,由（1）得D（1,4）,
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1,4）,B（1,2）
∵点E在直线AC上,
设E（x,x+1）,
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）,
∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1（舍去）∴E（0,1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,
则F（x,x﹣1）由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=
∴E（,）或（,）
综上,满足条件的点E为E（0,1）、（,）或（,）；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G,如图1
设Q（x,x+1）,则P（x,﹣x2+2x+3）
∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x﹣1）=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q（x,x+1）,则P（x,﹣x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+
∴△APC的面积的最大值为．
【35. 2012•兰州】
28．如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(－3,0)、(0,4),抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B,且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由；
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标；若不存在,说明理由．
(1)∵抛物线y＝经过点B(0,4)∴c＝4,
∵顶点在直线x＝上,
∴；∴所求函数关系式为；
(2)在Rt△ABO中,OA＝3,OB＝4,∴AB＝,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC＝CD＝DA＝AB＝5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x＝5时,y＝,
当x＝2时,y＝,
∴点C和点D都在所求抛物线上；
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b,则,
解得：,∴,
当x＝时,y＝,∴P(),
(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON＝,
设对称轴交x于点F,
则(PF＋OM)•OF＝(＋t)×,
∵,
()×＝,
S＝(－),＝－(0＜t＜4),S存在最大值．
由S＝－(t－)2＋,∴当S＝时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,)．
【36. 2012南通】
28．（本小题满分14分）
如图,经过点A(0,－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0,0)和C,O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度,得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上,∠OMB＋∠OAB＝∠ACB,求AM的长．
【解答】（1）将A（0,-4）、B（-2,0）代入抛物线y=x2+bx+c中,得：
0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ,
解得：b=-1 c=-4
∴抛物线的解析式：y=x2-x-4．
（2）由题意,新抛物线的解析式可表示为：
y=（x+m）2-（x+m）-4+7 2,
即：y=x2+（m-1）x+12 m2-m-1 2；
它的顶点坐标P：（1-m,-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4,0）；
那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时,-2（1-m）-4=-1,解得：m=5 2；
当点P在直线AC上时,（1-m）-4=-1,解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时,-2＜m＜5 2；
又∵m＞0,
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2．
（3）由A（0,-4）、B（4,0）得：OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形；
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB；
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得：AB2=AN•AM1；
易得：AB2=（-2）2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上,AM的长为6或2．
【36. 2012常德】
25、如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3）,B(4,4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请
说明理由.
（1）将A(-4,3）,B(4,4)代人中,整理得：
解得
∴二次函数的解析式为： ,
整理得：
（2）由 整理
∴X1=-2 ,X2= ∴C（-2,0）D
从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
（3）设 （X