[高中数学]一道稍有难度的数列题求助!已知数列{an}的首项a1=2,数列的前n项和为Sn,且an+1=（a-1）*Sn+2（n为正整数）,其中常数a>1.1.证明：数列{an}是等比数列.2.若a=2,数列{bn}满足bn=（1/n）*log2（a1*a2*a3*…*an）,求数列{bn}的通项公式.an+1中n+1为下标表示第n+1项.
2019-05-27
[高中数学]一道稍有难度的数列题求助!
已知数列{an}的首项a1=2,数列的前n项和为Sn,且an+1=（a-1）*Sn+2（n为正整数）,其中常数a>1.1.证明：数列{an}是等比数列.2.若a=2,数列{bn}满足bn=（1/n）*log2（a1*a2*a3*…*an）,求数列{bn}的通项公式.an+1中n+1为下标表示第n+1项.
优质解答
简单!写法改变一下这样好看一些!{an}=={An}(a1=A1,a2=A2.){bn}={Bn}
1.
当（n>1时）
A(n+1)=(a-1)*Sn+2 (1)
An=(a-1)*S(n-1)+2 (2)
(n=2,3...)
(1)和(2)左右两边相减有
A(n+1）-A(n)=(a-1)An
即有
A(n+1)=aAn
当n=1时
A2=（a-1)S1+2 又S1=A1=a1=2
则A2=aA1
即数列{An} （{an}）是等比数列
2,
a=2
An=(a^(n-1))*A1=2^n
Bn=(1/n)*log2((2^1)*(2^2)*..*(2^n))
=(1/n)*log2(2^(1+2+...+n))
=(1/n)*(1+2+..+n)
=(1/n)*( (1+n)*n/2 )
=(1+n)/2
简单!写法改变一下这样好看一些!{an}=={An}(a1=A1,a2=A2.){bn}={Bn}
1.
当（n>1时）
A(n+1)=(a-1)*Sn+2 (1)
An=(a-1)*S(n-1)+2 (2)
(n=2,3...)
(1)和(2)左右两边相减有
A(n+1）-A(n)=(a-1)An
即有
A(n+1)=aAn
当n=1时
A2=（a-1)S1+2 又S1=A1=a1=2
则A2=aA1
即数列{An} （{an}）是等比数列
2,
a=2
An=(a^(n-1))*A1=2^n
Bn=(1/n)*log2((2^1)*(2^2)*..*(2^n))
=(1/n)*log2(2^(1+2+...+n))
=(1/n)*(1+2+..+n)
=(1/n)*( (1+n)*n/2 )
=(1+n)/2