一道关于高中数学数列的题已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,且a1,a2,a3,…,an成等差数列（n是真偶数）,f(-1)=n求：（1）数列{an}的公差d.（2）当f(1)=n^2时,比较f(1/2)与3的大小,并说明理由.
2019-05-27
一道关于高中数学数列的题
已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,且a1,a2,a3,…,an成等差数列（n是真偶数）,f(-1)=n
求：（1）数列{an}的公差d.（2）当f(1)=n^2时,比较f(1/2)与3的大小,并说明理由.
优质解答
(1)因为f(-1)=-a1+a2-a3...+an=(a2-a1)+...+(an-a(n-1))=nd/2=n
所以d=2
(2)因为f(1)=a1+a2+...+an=a1*n+n(n-1)*2/2=a1*n+n^2-n=n^2
所以a1=1
所以f(1/2)=1*1/2+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+...+(2n-1)*(1/2)^n
2*f(1/2))=1*1+3*(1/2)+5*(1/2)^2+...+(2n-1)*(1/2)^（n-1）
所以f(1/2)=1+2*(1/2+...+(1/2)^(n-1))-(2n-1)*(1/2)^n
=1+2*(1/2*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2))-(2n-1)*(1/2)^n
=3-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n＜3
得证
(1)因为f(-1)=-a1+a2-a3...+an=(a2-a1)+...+(an-a(n-1))=nd/2=n
所以d=2
(2)因为f(1)=a1+a2+...+an=a1*n+n(n-1)*2/2=a1*n+n^2-n=n^2
所以a1=1
所以f(1/2)=1*1/2+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+...+(2n-1)*(1/2)^n
2*f(1/2))=1*1+3*(1/2)+5*(1/2)^2+...+(2n-1)*(1/2)^（n-1）
所以f(1/2)=1+2*(1/2+...+(1/2)^(n-1))-(2n-1)*(1/2)^n
=1+2*(1/2*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2))-(2n-1)*(1/2)^n
=3-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n＜3
得证