设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=x²-2与y=kx得：

1

3

x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：

b＝−4 ma+b＝km

，解得a=

km+4

m

，b=-4，
∴y=（

km+4

m

）x-4．
令y=0，得x=

4m

km+4

，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（

4m

km+4

，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（

kn+4

n

）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（

4n

kn+4

，0）．
∵

4m

km+4

+

4n

kn+4

=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称，故②正确
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴

PO

PA′

＝

PB

PO

，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法③正确．理由如下：
当k=-

3

3

时，联立方程组：

y＝− 3 3 x y＝ 1 3 x2−2

，得A（-2

3

，2），B（

3

，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故说法③正确．
（3）说法④正确．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=

1

2

OP•（-m）+

1

2

OP•n=

1

2

OP•（n-m）=2（n-m）=2

(m+n)2−4mn

=2

9k2+24

，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2

24

=4

6

．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：②③④．
故选：D． 设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=x²-2与y=kx得：

1

3

x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：

b＝−4 ma+b＝km

，解得a=

km+4

m

，b=-4，
∴y=（

km+4

m

）x-4．
令y=0，得x=

4m

km+4

，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（

4m

km+4

，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（

kn+4

n

）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（

4n

kn+4

，0）．
∵

4m

km+4

+

4n

kn+4

=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称，故②正确
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴

PO

PA′

＝

PB

PO

，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法③正确．理由如下：
当k=-

3

3

时，联立方程组：

y＝− 3 3 x y＝ 1 3 x2−2

，得A（-2

3

，2），B（

3

，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故说法③正确．
（3）说法④正确．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=

1

2

OP•（-m）+

1

2

OP•n=

1

2

OP•（n-m）=2（n-m）=2

(m+n)2−4mn

=2

9k2+24

，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2

24

=4

6

．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：②③④．
故选：D．