数学
古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的解．（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

2019-04-13

古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以
a
2
和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=
a
2
，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
优质解答
（1）∵∠C=90°，BC=
a
2
，AC=b，
∴AB=
b2+
a2
4
，
∴AD=
b2+
a2
4
-
a
2
=
4b2+a2
-a
2
；
（2）用求根公式求得：x1=
-
4b2+a2
-a
2
；x2=
4b2+a2
-a
2
（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分） （1）∵∠C=90°，BC=
a
2
，AC=b，
∴AB=
b2+
a2
4
，
∴AD=
b2+
a2
4
-
a
2
=
4b2+a2
-a
2
；
（2）用求根公式求得：x1=
-
4b2+a2
-a
2
；x2=
4b2+a2
-a
2
（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分）
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