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1． 如图10,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F．
（1）求证：；
（2）若 ,⊙O的半径为3,求BC的长．
答案：证明：（1） 连结AC,如图10
∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC 又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC
∴ CF=BF 因此,CF=BF．
（2）证法一：作CG⊥AD于点G,∵C是弧BD的中点
∴ ∠CAG=∠BAC ,即AC是∠BAD的角平分线．∴ CE=CG,AE=AG
在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE=CG ,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE=DG ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即 6-BE=2+DG ∴2BE=4,即 BE=2
又 △BCE∽△BAC∴ （舍去负值）∴
（2）证法二：∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB∴∠BEF= ,
在 与 中,∵
∴ ∽ ,则
即 ,∴
又∵ ,∴
利用勾股定理得：
又∵△EBC∽△ECA则 ,即则
∴ 即
∴ ∴
1． 如图10,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F．
（1）求证：；
（2）若 ,⊙O的半径为3,求BC的长．
答案：证明：（1） 连结AC,如图10
∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC 又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC
∴ CF=BF 因此,CF=BF．
（2）证法一：作CG⊥AD于点G,∵C是弧BD的中点
∴ ∠CAG=∠BAC ,即AC是∠BAD的角平分线．∴ CE=CG,AE=AG
在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE=CG ,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE=DG ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即 6-BE=2+DG ∴2BE=4,即 BE=2
又 △BCE∽△BAC∴ （舍去负值）∴
（2）证法二：∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB∴∠BEF= ,
在 与 中,∵
∴ ∽ ,则
即 ,∴
又∵ ,∴
利用勾股定理得：
又∵△EBC∽△ECA则 ,即则
∴ 即
∴ ∴