优质解答
例4 解答题
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时,n-m＜0,∴x＜n+m；
当m＜n时,n-m＞0,∴x＞n+m；
当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理．
去括号,得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项,得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项,得
(a+3)x≥3-3a
(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论．
例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正数,所以
例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用．
由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数,所以
(2)已知方程的解是负数,所以
例9 当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
(1)根据题意,应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式,得
(2)根据题意,应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式,得
x＜3
所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意,应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意,应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9．
例10
分析：
解不等式,求出x的范围．
说明：应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数．
分析：
设三个连续正整数为n-1,n,n+1
根据题意,列不等式,得
n-1+n+n+1≤17
所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2,它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜?
分析：设通电最多x分钟,水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24．
答案：通电最多24分,水温才适宜．
说明：解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米?
设引火线长为x厘米,
根据题意,列不等式,得
解之得,x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
把2x+1看成一个整体y,由于当-4＜y＜4时,有|y|＜4,即-4＜2x+1＜4,
巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式?现结合实例介绍一些技巧,供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4,得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式
解 原不等式变为
3．巧用分数加减法法则
故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则
解 原不等式化为
,
5．巧用分数基本性质
例5 解不等式
约去公因数2后,两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．
例6 解不等式
分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为
整理,得8x-3-25x+4＜12-10x,
思考：例5可这样解吗?请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0,
即 39(x-3)＞0,故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5,整体合并,得-6(2x-1)＞14,
9．巧拆项
例10 解不等式
分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为
得x-1≥0,故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
例4 解答题
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时,n-m＜0,∴x＜n+m；
当m＜n时,n-m＞0,∴x＞n+m；
当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理．
去括号,得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项,得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项,得
(a+3)x≥3-3a
(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论．
例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正数,所以
例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用．
由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数,所以
(2)已知方程的解是负数,所以
例9 当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
(1)根据题意,应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式,得
(2)根据题意,应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式,得
x＜3
所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意,应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意,应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9．
例10
分析：
解不等式,求出x的范围．
说明：应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数．
分析：
设三个连续正整数为n-1,n,n+1
根据题意,列不等式,得
n-1+n+n+1≤17
所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2,它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜?
分析：设通电最多x分钟,水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24．
答案：通电最多24分,水温才适宜．
说明：解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米?
设引火线长为x厘米,
根据题意,列不等式,得
解之得,x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
把2x+1看成一个整体y,由于当-4＜y＜4时,有|y|＜4,即-4＜2x+1＜4,
巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式?现结合实例介绍一些技巧,供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4,得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式
解 原不等式变为
3．巧用分数加减法法则
故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则
解 原不等式化为
,
5．巧用分数基本性质
例5 解不等式
约去公因数2后,两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．
例6 解不等式
分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为
整理,得8x-3-25x+4＜12-10x,
思考：例5可这样解吗?请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0,
即 39(x-3)＞0,故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5,整体合并,得-6(2x-1)＞14,
9．巧拆项
例10 解不等式
分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为
得x-1≥0,故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．