数学
初一的一元一次不等式组的计算题及答案100道计算题

2019-05-28

初一的一元一次不等式组的计算题及答案100道
计算题
优质解答
例4 解答题

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解.
分析:对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”;(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零.在求解过程中注意正确运用不等式性质.


∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0.
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)>n(n-x)
分析:解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度.此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力:它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明).
(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式.


即(n-m)x>n2-m2
当m>n时,n-m<0,∴x<n+m;
当m<n时,n-m>0,∴x>n+m;
当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解.这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立.
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3.
分析:由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理.
去括号,得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项,得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项,得
(a+3)x≥3-3a


(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12
这个不等式无解.
说明:在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论.
例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正数.
分析:根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围.注意:“非正数”是小于或等于零的数.
由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数,所以

例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是:(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围.
分析:要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之).这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围.这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用.
由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数,所以

(2)已知方程的解是负数,所以

例9 当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值:
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析:解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号.
(1)根据题意,应求不等式
-3x+5<0的解集
解这个不等式,得


(2)根据题意,应求不等式
-3x+5>-4的解集
解这个不等式,得
x<3
所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4.
(3)根据题意,应求不等式
-3x+5<-2x+3的解集
-3x+2x<3-5
-x<-2
x>2
所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3.
(4)根据题意,应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9.
例10

分析:

解不等式,求出x的范围.


说明:应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子.如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多.
例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数.
分析:

设三个连续正整数为n-1,n,n+1
根据题意,列不等式,得
n-1+n+n+1≤17

所以有四组:1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6.
说明:解此类问题时解集的完整性不容忽视.如不等式x<3的正整数解是1、2,它的非负整数解是0、1、2.
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜?
分析:设通电最多x分钟,水温才适宜.则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24.
答案:通电最多24分,水温才适宜.
说明:解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论.
例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区.引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米?
设引火线长为x厘米,

根据题意,列不等式,得

解之得,x≥48(厘米)
答:引火线至少需要48厘米.
*例14 解不等式|2x+1|<4.
把2x+1看成一个整体y,由于当-4<y<4时,有|y|<4,即-4<2x+1<4,

巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式?现结合实例介绍一些技巧,供参考.
1.巧用乘法
例1 解不等式0.25x>10.5.
分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便.
解 两边同乘以4,得x>42.
2.巧用对消法
例2 解不等式

解 原不等式变为

3.巧用分数加减法法则



故 y<-1.
4.逆用分数加减法法则

解 原不等式化为
,


5.巧用分数基本性质
例5 解不等式

约去公因数2后,两边的分母相同;②两个常数项移项合并得整数.


例6 解不等式
分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算.
解 原不等式为
整理,得8x-3-25x+4<12-10x,

思考:例5可这样解吗?请不妨试一试.
6.巧去括号
去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径.




7.逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)>0.
分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题.
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)>0,
即 39(x-3)>0,故x>3.
8.巧用整体合并
例9 解不等式
3{2x-1-[3(2x-1)+3]}>5.
解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9>5,整体合并,得-6(2x-1)>14,

9.巧拆项
例10 解不等式

分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题.
解 原不等式变形为


得x-1≥0,故x≥1.
练习题
解下列一元一次不等式


③3{3x+2-[2(3x+2)-1]}≥3x+1.
例4 解答题

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解.
分析:对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”;(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零.在求解过程中注意正确运用不等式性质.


∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0.
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)>n(n-x)
分析:解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度.此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力:它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明).
(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式.


即(n-m)x>n2-m2
当m>n时,n-m<0,∴x<n+m;
当m<n时,n-m>0,∴x>n+m;
当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解.这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立.
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3.
分析:由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理.
去括号,得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项,得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项,得
(a+3)x≥3-3a


(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12
这个不等式无解.
说明:在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论.
例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正数.
分析:根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围.注意:“非正数”是小于或等于零的数.
由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数,所以

例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是:(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围.
分析:要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之).这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围.这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用.
由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数,所以

(2)已知方程的解是负数,所以

例9 当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值:
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析:解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号.
(1)根据题意,应求不等式
-3x+5<0的解集
解这个不等式,得


(2)根据题意,应求不等式
-3x+5>-4的解集
解这个不等式,得
x<3
所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4.
(3)根据题意,应求不等式
-3x+5<-2x+3的解集
-3x+2x<3-5
-x<-2
x>2
所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3.
(4)根据题意,应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9.
例10

分析:

解不等式,求出x的范围.


说明:应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子.如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多.
例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数.
分析:

设三个连续正整数为n-1,n,n+1
根据题意,列不等式,得
n-1+n+n+1≤17

所以有四组:1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6.
说明:解此类问题时解集的完整性不容忽视.如不等式x<3的正整数解是1、2,它的非负整数解是0、1、2.
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜?
分析:设通电最多x分钟,水温才适宜.则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24.
答案:通电最多24分,水温才适宜.
说明:解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论.
例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区.引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米?
设引火线长为x厘米,

根据题意,列不等式,得

解之得,x≥48(厘米)
答:引火线至少需要48厘米.
*例14 解不等式|2x+1|<4.
把2x+1看成一个整体y,由于当-4<y<4时,有|y|<4,即-4<2x+1<4,

巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式?现结合实例介绍一些技巧,供参考.
1.巧用乘法
例1 解不等式0.25x>10.5.
分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便.
解 两边同乘以4,得x>42.
2.巧用对消法
例2 解不等式

解 原不等式变为

3.巧用分数加减法法则



故 y<-1.
4.逆用分数加减法法则

解 原不等式化为
,


5.巧用分数基本性质
例5 解不等式

约去公因数2后,两边的分母相同;②两个常数项移项合并得整数.


例6 解不等式
分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算.
解 原不等式为
整理,得8x-3-25x+4<12-10x,

思考:例5可这样解吗?请不妨试一试.
6.巧去括号
去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径.




7.逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)>0.
分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题.
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)>0,
即 39(x-3)>0,故x>3.
8.巧用整体合并
例9 解不等式
3{2x-1-[3(2x-1)+3]}>5.
解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9>5,整体合并,得-6(2x-1)>14,

9.巧拆项
例10 解不等式

分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题.
解 原不等式变形为


得x-1≥0,故x≥1.
练习题
解下列一元一次不等式


③3{3x+2-[2(3x+2)-1]}≥3x+1.
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