近日我与朋友讨论关于勾股定理的逆定理,按严谨的数学态度来说,任何定理的逆定理是否成立是需要证明的,而我的朋友却说,数学教科书初二下册中的证明是多余的,他是这样说的：由于逆定理的命题（三角形三边长分别为a.b.c,已知a的平方+b的平方=c的平方,则这个三角形为Rt三角形）中,已知部分与勾股定理的形式相同,因此逆定理成立.这个说法对吗?如不对,请告诉我不对的理由,要具有说服力!希望这方面的权威进来解答!
2019-05-22
近日我与朋友讨论关于勾股定理的逆定理,按严谨的数学态度来说,任何定理的逆定理是否成立是需要证明的,而我的朋友却说,数学教科书初二下册中的证明是多余的,他是这样说的：由于逆定理的命题（三角形三边长分别为a.b.c,已知a的平方+b的平方=c的平方,则这个三角形为Rt三角形）中,已知部分与勾股定理的形式相同,因此逆定理成立.这个说法对吗?如不对,请告诉我不对的理由,要具有说服力!希望这方面的权威进来解答!
优质解答
他的说法不对
你也知道真命题的逆命题不一定成立,需要证明,这是因为原命题的前提条件可能是充分不必要条件,而不是充分必要条件,这是命题就不可逆.
比如说中国人都有两只眼睛是成立的,而反过来有两只眼睛的都是中国人就是不成立的,因为外国人也是两只眼睛.究其根本,在于中国人这个前提对有两只眼睛这个结论而言是很充分的,但并不是必要的.从这个例子我们可以看出只有前提即充分有必要的定理才是可逆的.
真正不需证明就一定成立的是逆否命题,还以上面的例子,若说不是两只眼睛的就不是中国人（刨除意外和畸形的）,就比较有道理了,因为这是逆否命题.同样以勾股定理而言,真正无需证明的是若a方+b方不等于c方,就一定不是rt三角形,这就对了.
他的说法不对
你也知道真命题的逆命题不一定成立,需要证明,这是因为原命题的前提条件可能是充分不必要条件,而不是充分必要条件,这是命题就不可逆.
比如说中国人都有两只眼睛是成立的,而反过来有两只眼睛的都是中国人就是不成立的,因为外国人也是两只眼睛.究其根本,在于中国人这个前提对有两只眼睛这个结论而言是很充分的,但并不是必要的.从这个例子我们可以看出只有前提即充分有必要的定理才是可逆的.
真正不需证明就一定成立的是逆否命题,还以上面的例子,若说不是两只眼睛的就不是中国人（刨除意外和畸形的）,就比较有道理了,因为这是逆否命题.同样以勾股定理而言,真正无需证明的是若a方+b方不等于c方,就一定不是rt三角形,这就对了.