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我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23=32？【解决问题】A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）&

2019-04-13

我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23=32？
【解决问题】
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=32
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33=___．
要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3=___．
（参考公式：1+2+3+…+n=
(1+n)n
2
）
注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．
【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，
如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；
求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．
作业帮
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作业帮 【递进探究】
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=13，
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23，
E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=33，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，
∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形，
∴13+23+33=62；
【推广探究】
由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
，
∴13+23+33+…+n3=（
n(n+1)
2
）2=
n2(n+1)2
4
．
【提炼运用】
作业帮图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0=（1-1）3个看不见；
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1=（2-1）3个看不见；
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8=（3-1）3个看不见；
…，
从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1-1）3+（2-1）3+（3-1）3+…+（101-1）3=03+13+23+…+1003=
1012×(101+1)2
4
=26532801．
故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为26532801．
故答案为：62；
n2(n+1)2
4
． 作业帮 【递进探究】
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=13，
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23，
E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=33，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，
∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形，
∴13+23+33=62；
【推广探究】
由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
，
∴13+23+33+…+n3=（
n(n+1)
2
）2=
n2(n+1)2
4
．
【提炼运用】
作业帮图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0=（1-1）3个看不见；
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1=（2-1）3个看不见；
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8=（3-1）3个看不见；
…，
从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1-1）3+（2-1）3+（3-1）3+…+（101-1）3=03+13+23+…+1003=
1012×(101+1)2
4
=26532801．
故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为26532801．
故答案为：62；
n2(n+1)2
4
．
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