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1.几何与代数的各种应用实例
几何与代数是Grassmann代数和Clifford代数的一个现代发展.在几何与代数中,可以将矢量、四元数、张量等都统一到同一个代数框架内,免去了相互转化的麻烦.而且,几何代数中的量都有很直观的几何意义,很容易理解.几何代数的应用非常广泛,可以用于描述相对论力学、弹性动力学、机器人学、计算机视觉和图形学等诸多领域,甚至已经有人致力于将几何代数作为物理学和工程领域统一的数学语言.
实例一：
几何代数在飞机动力学的的应用
飞行力学中经常要用到很多不同的坐标系,因而经常需要用到不同的坐标系的转换或者在不同坐标系中求导.文献[ 5 ]中用矢阵方法推导了两个转动坐标系之间的相对导的关系.而用几何代数的方法可以得到相对导数更一般的表达,而且可以发现,相对导数实际上就是一种旋转变换.如图5 所示,两刚体A ,B 在空间作相对运动.刚体A 的本体坐标系F a 为{a 1,a 2,a 3},由惯性坐标系{e1,e2,e3}通过rotor R a 转换得到,角速度为Ωa.刚体B 的本体坐标系F b 为{b1,b2,b3},其rotor 为R b,角速为Ωb.易知刚体B 相对于刚体A 的rotor为:（32）,
相对角速度为:,
对于矢量 ,
根据定义,其在F a 中的相对导数为:
（34）,
上式虽然是以矢量为例推出的,但根据rotor的性质,也适用于双矢量和张量.利用rotor运算,很容易得到两个坐标系之间的相对导数关系:
（35）
由上式分析知,R0bauRba相当于将矢量u 以及与其固连的坐标系一起转动到F b 与F a重合时的矢量.显然此矢量在F a 中的分量表示同矢量u 在本体坐标系F b 中的分量表示相同,即 （36）.
这就是说,矢量的相对导数同矢量本身一样随坐标系的旋转而旋转.容易推得这对其他各阶相对导数也是成立的.根据式(31) 将式(35) 展开可得到与文献[ 5 ]中类似的公式:
（37）
对于二阶相对导数,同样可以得到:
（38）
实际上,对于更高阶的相对导数,同样可以很简洁的表示,而且概念清晰.而将其展开之后将会复杂很多,比如将上式展开可得:（39）
这也与文献[ 5 ]中的结果等价.应用相对导数,可以得到非常简单的相对姿态运动方程:
（40）
上式就完全描述了两刚体间的相对姿态运动.可见,由rotor和相对导数描述的相对姿态运动方程特别简洁、明晰,给研究相对姿态运动提供了方便.
实例二：
几何学在地质构造定量研究中的应用
构造地质学的主要研究内容是地址构造中的几何形态、组合形式、形成机制和演化过程,探讨产生这些构造作用的力的方向、方式和性质,解析构造的运动学过程和动力学机制.构造解析包括几何学、运动学和动力学的3方面的解析.其中几何学解析就是认识和测量各类各级构造的形态、产状、方位、大小、构造内部各要素之间的几何关系,从而建立一个完整的具有几何规律的构造系或型式.而几何学分析所提供的资料和数据则为运动学和动力学分析提供基础.
微分几何学在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用.但在地质学中的应用相对切法.微分几何学的很多概念都可以引入地质构造的研究中,为地质构造提供精确的数学描述和解析结果.因而在地质构造定量研究中引入微分几何学是必要的,在引入微分几何的基础上,利用计算机数值分析、图像图形学、三维可视化、模糊识别、遥感测量等先进技术来实现地质构造形态的计算机自动分析和三维可视化的直观表达.具体应用如：用主曲率的方法进行构造裂缝预测、构造层面上的变形分析、褶皱的形态分类、隐藏断层位置的探测、滑脱断层曲率与金矿的预测
1.几何与代数的各种应用实例
几何与代数是Grassmann代数和Clifford代数的一个现代发展.在几何与代数中,可以将矢量、四元数、张量等都统一到同一个代数框架内,免去了相互转化的麻烦.而且,几何代数中的量都有很直观的几何意义,很容易理解.几何代数的应用非常广泛,可以用于描述相对论力学、弹性动力学、机器人学、计算机视觉和图形学等诸多领域,甚至已经有人致力于将几何代数作为物理学和工程领域统一的数学语言.
实例一：
几何代数在飞机动力学的的应用
飞行力学中经常要用到很多不同的坐标系,因而经常需要用到不同的坐标系的转换或者在不同坐标系中求导.文献[ 5 ]中用矢阵方法推导了两个转动坐标系之间的相对导的关系.而用几何代数的方法可以得到相对导数更一般的表达,而且可以发现,相对导数实际上就是一种旋转变换.如图5 所示,两刚体A ,B 在空间作相对运动.刚体A 的本体坐标系F a 为{a 1,a 2,a 3},由惯性坐标系{e1,e2,e3}通过rotor R a 转换得到,角速度为Ωa.刚体B 的本体坐标系F b 为{b1,b2,b3},其rotor 为R b,角速为Ωb.易知刚体B 相对于刚体A 的rotor为:（32）,
相对角速度为:,
对于矢量 ,
根据定义,其在F a 中的相对导数为:
（34）,
上式虽然是以矢量为例推出的,但根据rotor的性质,也适用于双矢量和张量.利用rotor运算,很容易得到两个坐标系之间的相对导数关系:
（35）
由上式分析知,R0bauRba相当于将矢量u 以及与其固连的坐标系一起转动到F b 与F a重合时的矢量.显然此矢量在F a 中的分量表示同矢量u 在本体坐标系F b 中的分量表示相同,即 （36）.
这就是说,矢量的相对导数同矢量本身一样随坐标系的旋转而旋转.容易推得这对其他各阶相对导数也是成立的.根据式(31) 将式(35) 展开可得到与文献[ 5 ]中类似的公式:
（37）
对于二阶相对导数,同样可以得到:
（38）
实际上,对于更高阶的相对导数,同样可以很简洁的表示,而且概念清晰.而将其展开之后将会复杂很多,比如将上式展开可得:（39）
这也与文献[ 5 ]中的结果等价.应用相对导数,可以得到非常简单的相对姿态运动方程:
（40）
上式就完全描述了两刚体间的相对姿态运动.可见,由rotor和相对导数描述的相对姿态运动方程特别简洁、明晰,给研究相对姿态运动提供了方便.
实例二：
几何学在地质构造定量研究中的应用
构造地质学的主要研究内容是地址构造中的几何形态、组合形式、形成机制和演化过程,探讨产生这些构造作用的力的方向、方式和性质,解析构造的运动学过程和动力学机制.构造解析包括几何学、运动学和动力学的3方面的解析.其中几何学解析就是认识和测量各类各级构造的形态、产状、方位、大小、构造内部各要素之间的几何关系,从而建立一个完整的具有几何规律的构造系或型式.而几何学分析所提供的资料和数据则为运动学和动力学分析提供基础.
微分几何学在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用.但在地质学中的应用相对切法.微分几何学的很多概念都可以引入地质构造的研究中,为地质构造提供精确的数学描述和解析结果.因而在地质构造定量研究中引入微分几何学是必要的,在引入微分几何的基础上,利用计算机数值分析、图像图形学、三维可视化、模糊识别、遥感测量等先进技术来实现地质构造形态的计算机自动分析和三维可视化的直观表达.具体应用如：用主曲率的方法进行构造裂缝预测、构造层面上的变形分析、褶皱的形态分类、隐藏断层位置的探测、滑脱断层曲率与金矿的预测