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从集合思想看小学数学教学中现代数学思想的渗透
北京市怀柔区 沈秋爽
前言：我国中小学数学教育一直进行着改革,改革的方法是“渗透、增加、删除”的六字方针,实现数学教育的现代化一直是数学教学改革的目标,在符合现代儿童实际和接受能力的基础上,尽早地在儿童的头脑中渗透部分现代数学的某些思想,应该是我们小学数学教师的一项重要任务.我们进入了知识信息化时代,儿童要在将来适应高科技发展,应提前学习数字化的电脑知识,而我认为像集合等数学思想是数学发展最重要的基础,在小学恰当地渗透学习,从小形成感性认识,是学生提早接触现代数学的必要环节.
下面就从集合思想的角度谈一谈小学数学中如何渗透现代数学思想. 一、概念的界定 （一）学术定义 1、集合思想
集合是指分散的人或物聚集到一起.在数学中,集合是指一组具有某种共同性质的数学元素.一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元.所谓集合思想是指在数学思想中包含的应用集合知识的思想被称之为集合思想.
2、现代数学思想
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动.所谓现代数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学的基本特征,并且是历史地发展着的.通过数学思想的培养,数学的能力能才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想,就是掌握数学的精髓.
3、小学数学
小学数学是学习高等数学的基础,是学习离散数学、模糊数学的必备知识,因此小学数学类似于初等数学但又不完全是初等数学.初等数学在工具书中的解释是不涉及变量数学分支的统称.研究常量间的代数运算和不同形体内部及相互间的关系,分别形成了初等代数和初等几何,统称为初等数学.1
小学课程的主要内容,诸如算数、代数、几何、三角等统称为初等代数.2
因此,小学数学主要以初等数学为主要学习内容,同时穿插高等数学思想.
（二）适当渗透现代数学思想的意义
适当渗透一些内容和方法,在小学数学教学中,主要渗透的现代数学思想是：集合、对应、统计等.渗透这些思想是根据小学生的认知规律,采取形象直观的形式,在不出现这些现代数学的数学的术语、符号的前提下,使用直观图形进行渗透,让学生直观地受到潜移默化的影响.
二、小学数学教学中渗透现代数学思想的必要性
在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用,不仅是学生思维发展的基础,也是教师教学的好助手.
（一）从心理学角度
在认知心理学里,数学思想属于元认知范畴,它对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性的作用.学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语）,解题关键在于找到合适的解题思路,现代数学思想和方法 就是帮助构建解题思路的指导思想.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径.
（二） 从社会需求角度
数学知识本身是非常重要的,但它并不是惟一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法.未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才.21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,
是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果.
（三） 从素质教育角度
小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强学生数学观念,形成良好思维素质的关键.如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识、技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容.淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构,也必将影响其能力的发展和数学素质的提高.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口.
三、小学数学教材中蕴含的现代数学思想中集合思想的举例 （一）在小学教材中渗透集合思想的意义
在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用.通过图形的观察、比较,使学生获得一些感性认识,加深学生对基础知识的理解,有利于培养学生的思维能力,有利于开发学生的智力,有利于进一步学习数学和现代科学技术.集合思想在是现代数学思想中占有很重要的地位,而小学教材中的知识又无时无刻地体现着集合思想,因此,在小学数学教材中渗透现代数学思想也提示着广大教师要重视现代数学思想的渗透.
（二）在教材中体现现代数学思想的举例 就低年级数学来说,有以下两种形式 1、用多种形式表示一类事物的集合.
例：一个盘子放了5个苹果,就表示5个苹果的集合；一张桌子放了8本书,就表示8本书的集合等.
2、在认数和运算教学中渗透集合思想
例：10以内数认识时,引导学生观察一系列等价集合的图形.抽象出它们共同的属性,概括成自然数的概念.如：在形成基数“5”的概念时,就必须用实物、图卡、计数器、集合图等这些不连续量让学生自己操作.如：数5根火柴棒、点5个人的名字,指出集合中的5棵树,5把椅子；另外用连续量,如量出5杯水,5尺布等,然后逐渐扬弃本质的东西,抽取出“5”这个基数概念.随着知识的增长又有了5点钟、5年计划、五分之一这些意义来丰富它的内容.
在加法运算中渗透并集思想,在减法运算中渗透差集思想. 3、让学生练习集合的几种表示法.
例如：数的整除渗透交集思想.并开始使用大括号{} 12的因数是{1、2、3、4、6、12} 18的因数是{1、2、3、6、9、18} 12与18的公因数是{1、2、3、6} 因此,（12,18）=6
四、在小学数学课堂如何渗透现代数学思想中的集合思想 （一）在小学数学课堂渗透现代数学方法的宗旨
小学生刚刚学习数学,无论是从知识水平和思维方法都处于初级水平,因此现代数学思想在小学阶段重在渗透,不可直接让学生接触学术名词、数学符号等.可以通过图形使学生获得一些感性认识,这样既可以加深学生对基础知识的理解,也不增加学生的负担.总之是采取直观的教学,是一种潜移默化的形式.
（二）教学中渗透集合思想的方法举例
1、教材中有明显数学思想的渗透,采取依从教材的方法
小学数学课本第一册,学习数的认识和加减法运算时,因为数目小、直观性强,因此渗透现代数学思想比较容易.在数数时,实质是要先对实物进行分类,把每一类看作一个集合,然后依次只集合中的每一个元素分别同自然数中的1、2、3„„相对应,指到最后一个元素,同它对应的自然数就是这个集合中元素的个数,也就是物体的总数.教材引入加法时,渗透并集思想；引入减法时渗透子集思想.教材把同类的画在一个圈内,使学生初步地、直观地体会到圈内的东西是一个整体；认识“0”的时候,通过圈内没有任何东西使学生初步接触空集的思想,加深对“0”的认识.所有这些都是通过直观使学生积
累一些感性材料.这是教材有意渗透集合这种数学思想,因此不必刻意去解释,使学生有感性的认识即可.教学时,只要求在教师的指导下,进行观察、比较,对这些内容有一些感性的认识就可以了.
2、结合教材,直观分析
在教材中经常出现的一类练习题：把数字填在相应的括号内.
这样的习题学生看起来很直观,难度不大,但是是渗透集合思想的好契机.做过题后,引导学生观察每个方框有什么特点,你还能自己设计一个有特点的方框吗?不用告诉学生这是集合,学生在观察中就受到了集合思想的熏陶,在自己设计方框的同时边分析边体会集合的含义.这时,是通过分析而对集合思想所渗透.
3、超越教材,适当渗透
讲正方形、长方形和平行四边形的关系和讲最大公约数采用示意图表示：
这样处理比语言叙述更直观,更容易理解,在不改变教材内容、体系结构、不出现有关术语和符号前提下,结合教学内容用直观的形式出现一些示意图,引导学生通过观察或练习,在不知不觉中受到影响.
五、建议
（一）提高渗透的自觉性
6
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而现代数学思想却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中.教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉.对于学生的要求是能领会多少算多少.因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透现代数学思想重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想同时纳入教学目的,把现代数学思想教学的要求融入备课环节.其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行现代数学思想渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想渗透,渗透哪些数学思想,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求.
（二）把握渗透的可行性
现代数学思想的教学必须通过具体的教学过程加以实现.因此,必须把握好教学过程中进行数学思想教学的契机——概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等. 同时,进行数学思想的教学要注意有机结合、自然渗透,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法.
（三）注重渗透的反复性
现代数学思想是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的.为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”,因为在这个过程中提炼出来的数学思想,对学生来说才是易于体会、易于接受的.其次要注意渗透的长期性,应该看到,对学生现代数学思想的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,而是有一个过程.数学思想必须经过循序渐进和反复渗透,才能使学生真正地有所领悟.
参考文献
1、马国良,云南财贸学院学报,2000年s1期 2、王正萍,滁州职业技术学院学报,2003年01期
从集合思想看小学数学教学中现代数学思想的渗透
北京市怀柔区 沈秋爽
前言：我国中小学数学教育一直进行着改革,改革的方法是“渗透、增加、删除”的六字方针,实现数学教育的现代化一直是数学教学改革的目标,在符合现代儿童实际和接受能力的基础上,尽早地在儿童的头脑中渗透部分现代数学的某些思想,应该是我们小学数学教师的一项重要任务.我们进入了知识信息化时代,儿童要在将来适应高科技发展,应提前学习数字化的电脑知识,而我认为像集合等数学思想是数学发展最重要的基础,在小学恰当地渗透学习,从小形成感性认识,是学生提早接触现代数学的必要环节.
下面就从集合思想的角度谈一谈小学数学中如何渗透现代数学思想. 一、概念的界定 （一）学术定义 1、集合思想
集合是指分散的人或物聚集到一起.在数学中,集合是指一组具有某种共同性质的数学元素.一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元.所谓集合思想是指在数学思想中包含的应用集合知识的思想被称之为集合思想.
2、现代数学思想
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动.所谓现代数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学的基本特征,并且是历史地发展着的.通过数学思想的培养,数学的能力能才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想,就是掌握数学的精髓.
3、小学数学
小学数学是学习高等数学的基础,是学习离散数学、模糊数学的必备知识,因此小学数学类似于初等数学但又不完全是初等数学.初等数学在工具书中的解释是不涉及变量数学分支的统称.研究常量间的代数运算和不同形体内部及相互间的关系,分别形成了初等代数和初等几何,统称为初等数学.1
小学课程的主要内容,诸如算数、代数、几何、三角等统称为初等代数.2
因此,小学数学主要以初等数学为主要学习内容,同时穿插高等数学思想.
（二）适当渗透现代数学思想的意义
适当渗透一些内容和方法,在小学数学教学中,主要渗透的现代数学思想是：集合、对应、统计等.渗透这些思想是根据小学生的认知规律,采取形象直观的形式,在不出现这些现代数学的数学的术语、符号的前提下,使用直观图形进行渗透,让学生直观地受到潜移默化的影响.
二、小学数学教学中渗透现代数学思想的必要性
在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用,不仅是学生思维发展的基础,也是教师教学的好助手.
（一）从心理学角度
在认知心理学里,数学思想属于元认知范畴,它对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性的作用.学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语）,解题关键在于找到合适的解题思路,现代数学思想和方法 就是帮助构建解题思路的指导思想.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径.
（二） 从社会需求角度
数学知识本身是非常重要的,但它并不是惟一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法.未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才.21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,
是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果.
（三） 从素质教育角度
小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强学生数学观念,形成良好思维素质的关键.如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识、技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容.淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构,也必将影响其能力的发展和数学素质的提高.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口.
三、小学数学教材中蕴含的现代数学思想中集合思想的举例 （一）在小学教材中渗透集合思想的意义
在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用.通过图形的观察、比较,使学生获得一些感性认识,加深学生对基础知识的理解,有利于培养学生的思维能力,有利于开发学生的智力,有利于进一步学习数学和现代科学技术.集合思想在是现代数学思想中占有很重要的地位,而小学教材中的知识又无时无刻地体现着集合思想,因此,在小学数学教材中渗透现代数学思想也提示着广大教师要重视现代数学思想的渗透.
（二）在教材中体现现代数学思想的举例 就低年级数学来说,有以下两种形式 1、用多种形式表示一类事物的集合.
例：一个盘子放了5个苹果,就表示5个苹果的集合；一张桌子放了8本书,就表示8本书的集合等.
2、在认数和运算教学中渗透集合思想
例：10以内数认识时,引导学生观察一系列等价集合的图形.抽象出它们共同的属性,概括成自然数的概念.如：在形成基数“5”的概念时,就必须用实物、图卡、计数器、集合图等这些不连续量让学生自己操作.如：数5根火柴棒、点5个人的名字,指出集合中的5棵树,5把椅子；另外用连续量,如量出5杯水,5尺布等,然后逐渐扬弃本质的东西,抽取出“5”这个基数概念.随着知识的增长又有了5点钟、5年计划、五分之一这些意义来丰富它的内容.
在加法运算中渗透并集思想,在减法运算中渗透差集思想. 3、让学生练习集合的几种表示法.
例如：数的整除渗透交集思想.并开始使用大括号{} 12的因数是{1、2、3、4、6、12} 18的因数是{1、2、3、6、9、18} 12与18的公因数是{1、2、3、6} 因此,（12,18）=6
四、在小学数学课堂如何渗透现代数学思想中的集合思想 （一）在小学数学课堂渗透现代数学方法的宗旨
小学生刚刚学习数学,无论是从知识水平和思维方法都处于初级水平,因此现代数学思想在小学阶段重在渗透,不可直接让学生接触学术名词、数学符号等.可以通过图形使学生获得一些感性认识,这样既可以加深学生对基础知识的理解,也不增加学生的负担.总之是采取直观的教学,是一种潜移默化的形式.
（二）教学中渗透集合思想的方法举例
1、教材中有明显数学思想的渗透,采取依从教材的方法
小学数学课本第一册,学习数的认识和加减法运算时,因为数目小、直观性强,因此渗透现代数学思想比较容易.在数数时,实质是要先对实物进行分类,把每一类看作一个集合,然后依次只集合中的每一个元素分别同自然数中的1、2、3„„相对应,指到最后一个元素,同它对应的自然数就是这个集合中元素的个数,也就是物体的总数.教材引入加法时,渗透并集思想；引入减法时渗透子集思想.教材把同类的画在一个圈内,使学生初步地、直观地体会到圈内的东西是一个整体；认识“0”的时候,通过圈内没有任何东西使学生初步接触空集的思想,加深对“0”的认识.所有这些都是通过直观使学生积
累一些感性材料.这是教材有意渗透集合这种数学思想,因此不必刻意去解释,使学生有感性的认识即可.教学时,只要求在教师的指导下,进行观察、比较,对这些内容有一些感性的认识就可以了.
2、结合教材,直观分析
在教材中经常出现的一类练习题：把数字填在相应的括号内.
这样的习题学生看起来很直观,难度不大,但是是渗透集合思想的好契机.做过题后,引导学生观察每个方框有什么特点,你还能自己设计一个有特点的方框吗?不用告诉学生这是集合,学生在观察中就受到了集合思想的熏陶,在自己设计方框的同时边分析边体会集合的含义.这时,是通过分析而对集合思想所渗透.
3、超越教材,适当渗透
讲正方形、长方形和平行四边形的关系和讲最大公约数采用示意图表示：
这样处理比语言叙述更直观,更容易理解,在不改变教材内容、体系结构、不出现有关术语和符号前提下,结合教学内容用直观的形式出现一些示意图,引导学生通过观察或练习,在不知不觉中受到影响.
五、建议
（一）提高渗透的自觉性
6
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而现代数学思想却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中.教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉.对于学生的要求是能领会多少算多少.因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透现代数学思想重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想同时纳入教学目的,把现代数学思想教学的要求融入备课环节.其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行现代数学思想渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想渗透,渗透哪些数学思想,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求.
（二）把握渗透的可行性
现代数学思想的教学必须通过具体的教学过程加以实现.因此,必须把握好教学过程中进行数学思想教学的契机——概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等. 同时,进行数学思想的教学要注意有机结合、自然渗透,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法.
（三）注重渗透的反复性
现代数学思想是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的.为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”,因为在这个过程中提炼出来的数学思想,对学生来说才是易于体会、易于接受的.其次要注意渗透的长期性,应该看到,对学生现代数学思想的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,而是有一个过程.数学思想必须经过循序渐进和反复渗透,才能使学生真正地有所领悟.
参考文献
1、马国良,云南财贸学院学报,2000年s1期 2、王正萍,滁州职业技术学院学报,2003年01期