数学
Rt△ABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为圆心作直径为n （n＜m2）的圆，分别交BC于P，Q两点，求|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值．

2019-05-30

Rt△ABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为圆心作直径为n （n＜
m
2
）的圆，分别交BC于P，Q两点，求|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值．
优质解答
由题意，OA=OB=
m
2
，OP=OQ=n
△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP2-2OA•OPcos∠AOP
同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ2-2OA•OQcos∠AOQ
因为∠AOP+∠AOQ=180°，
所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2（
m
2
）2+2n2+（2n）2=
m2
2
+6n2． 由题意，OA=OB=
m
2
，OP=OQ=n
△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP2-2OA•OPcos∠AOP
同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ2-2OA•OQcos∠AOQ
因为∠AOP+∠AOQ=180°，
所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2（
m
2
）2+2n2+（2n）2=
m2
2
+6n2．
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