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某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势;现有三种函数模型.①,②,③(其中p,q为正常数,且q>2).较准确反映数学成绩与考试序次关系,应选作为模拟函数;若f(1)=4,f(3)=6,求出所选函数f(x)的解析式.
2019-05-04
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某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势;现有三种函数模型.①
,②
,③
(其中p,q为正常数,且q>2).较准确反映数学成绩与考试序次关系,应选____作为模拟函数;若f(1)=4,f(3)=6,求出所选函数f(x)的解析式____.
优质解答
【分析】
(1)欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数,主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势,故可从三个函数的单调上考虑,前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间,应选f(x)=(x-1)(x-q)
2
+p为其成绩模拟函数.
(2)由题中条件:f(1)=4,f(3)=6,得方程组,求出p,q即可,从而得到f(x)的解析式.
(1)因为f(x)=pq
x
,f(x)=log
q
x+q是单调函数,
f(x)=(x-1)(x-q)
2
+q中,
f′(x)=3x
2
-(4q+2)x+q
2
+2q,
令f′(x)=0,得x=q,x=
,f(x)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,
所以应选f(x)=(x-1)(x-q)
2
+p为其成绩模拟函数.
(2)①由f(1)=4,f(3)=6,
得
,解得
f(x)=x
3
+9x
2
+24x-12(1≤x≤12,且x∈Z).
【点评】
本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.
【分析】
(1)欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数,主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势,故可从三个函数的单调上考虑,前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间,应选f(x)=(x-1)(x-q)
2
+p为其成绩模拟函数.
(2)由题中条件:f(1)=4,f(3)=6,得方程组,求出p,q即可,从而得到f(x)的解析式.
(1)因为f(x)=pq
x
,f(x)=log
q
x+q是单调函数,
f(x)=(x-1)(x-q)
2
+q中,
f′(x)=3x
2
-(4q+2)x+q
2
+2q,
令f′(x)=0,得x=q,x=
,f(x)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,
所以应选f(x)=(x-1)(x-q)
2
+p为其成绩模拟函数.
(2)①由f(1)=4,f(3)=6,
得
,解得
f(x)=x
3
+9x
2
+24x-12(1≤x≤12,且x∈Z).
【点评】
本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.
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