1.如果函数满足 f(x+a) = f(b-x),则函数图像关于 x = (a+b)/2 对称
首先注意到对任意 x,
(x+a)+(b-x) 恒等于 a+b,故点 (x+a,f(x+a)) 与点 (b-x,f(b-x)) 关于 x = (a+b)/2 对称,
又注意到 x 变动时,x+a 可以跑遍 f 的定义域,故 f 关于 x = (a+b)/2 对称
2.如果函数满足 f(x+a) = f(x+b),则函数有周期 |a-b|,其中 a≠b
这一个和上一个的区别在于 x+a+x+b 并不恒等于一个常数,故没有对称性可言.但是它们相减
是常数,而且差这个常数的两个自变量有相同的函数值,这时可以谈论周期性
3.如果函数满足 f(x+a) + f(b-x) = c,则函数图像关于点 ((a+b)/2,c/2) 对称
证明类似于 1,特别地,当 c = 0 时,函数图像关于 ((a+b)/2,0) 对称
更特别地,当 a=b=c=0 时,函数图像关于原点对称,这时 f 就是奇函数
4.如果函数关于点 (a,c),(b,c) 对称 (a≠b),则函数有周期 2 |a-b|
5.如果函数关于点 (a,c),直线 x = b 对称 (a≠b),则函数有周期 4 |a-b| 1.如果函数满足 f(x+a) = f(b-x),则函数图像关于 x = (a+b)/2 对称
首先注意到对任意 x,
(x+a)+(b-x) 恒等于 a+b,故点 (x+a,f(x+a)) 与点 (b-x,f(b-x)) 关于 x = (a+b)/2 对称,
又注意到 x 变动时,x+a 可以跑遍 f 的定义域,故 f 关于 x = (a+b)/2 对称
2.如果函数满足 f(x+a) = f(x+b),则函数有周期 |a-b|,其中 a≠b
这一个和上一个的区别在于 x+a+x+b 并不恒等于一个常数,故没有对称性可言.但是它们相减
是常数,而且差这个常数的两个自变量有相同的函数值,这时可以谈论周期性
3.如果函数满足 f(x+a) + f(b-x) = c,则函数图像关于点 ((a+b)/2,c/2) 对称
证明类似于 1,特别地,当 c = 0 时,函数图像关于 ((a+b)/2,0) 对称
更特别地,当 a=b=c=0 时,函数图像关于原点对称,这时 f 就是奇函数
4.如果函数关于点 (a,c),(b,c) 对称 (a≠b),则函数有周期 2 |a-b|
5.如果函数关于点 (a,c),直线 x = b 对称 (a≠b),则函数有周期 4 |a-b|