让我纠结了很久的一道物理题目!真的是小题目大智慧.三只小蜗牛所在的位置形成等边三角形,三角形的边长为60.第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去,同时第二只向第三只爬去,第三只向第一只爬去,每只蜗牛的爬行速度都是5cm/min.在爬行的过程中,每只蜗牛都始终保持对准自己的目标.经过多长时间蜗牛们会相遇?相遇的时候,它们各自爬过多长的路程?它们经过的路线可以用怎样的方程描述?若将蜗牛看作质点,那么它们相遇前,绕着它们最终相遇点转了多少圈?
2019-06-19
让我纠结了很久的一道物理题目!真的是小题目大智慧.
三只小蜗牛所在的位置形成等边三角形,三角形的边长为60.第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去,同时第二只向第三只爬去,第三只向第一只爬去,每只蜗牛的爬行速度都是5cm/min.在爬行的过程中,每只蜗牛都始终保持对准自己的目标.经过多长时间蜗牛们会相遇?相遇的时候,它们各自爬过多长的路程?它们经过的路线可以用怎样的方程描述?若将蜗牛看作质点,那么它们相遇前,绕着它们最终相遇点转了多少圈?
优质解答
设等边三角形中心为O.由题易知,每一时刻三只小蜗牛所在的位置都构成以O为中心的等边三角形.把小蜗牛的速度分解成指向O的速度v1和垂直v1的v2,有
v1 = √3/2 v = √3/2 * 5 = 5√3/2 cm/min
v2 = 1/2 v = 1/2 * 5 = 5/2 cm/min
蜗牛们会相遇在O点,蜗牛径向路程为蜗牛起始位置到O点得距离ρ= 20√3 cm
蜗牛们相遇时间 t = ρ/ v1 = 20√3 / 5√3/2 = 8min
它们各自爬过的路程 s = vt = 5 * 8 = 40 cm
设O为（0,0）,其中一只蜗牛起始坐标（20√3,0）,转换成极坐标（20√3,0）（其中ρ0= 20√3,θ0=0）.以t为参数（0 < t t )的积分 w dt
= ( t:0->t )的积分 √3 / (24 - 3t) dt
= √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)]
极坐标方程（速度方向、原点坐标、起始点坐标都没设定,这只是一个例子）
ρ = 20√3 - 5√3/2 t
θ = √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)] （以2π为循环,大于2π时减去2π即可）
它们相遇前,绕O转动角度θ趋近无穷
设等边三角形中心为O.由题易知,每一时刻三只小蜗牛所在的位置都构成以O为中心的等边三角形.把小蜗牛的速度分解成指向O的速度v1和垂直v1的v2,有
v1 = √3/2 v = √3/2 * 5 = 5√3/2 cm/min
v2 = 1/2 v = 1/2 * 5 = 5/2 cm/min
蜗牛们会相遇在O点,蜗牛径向路程为蜗牛起始位置到O点得距离ρ= 20√3 cm
蜗牛们相遇时间 t = ρ/ v1 = 20√3 / 5√3/2 = 8min
它们各自爬过的路程 s = vt = 5 * 8 = 40 cm
设O为（0,0）,其中一只蜗牛起始坐标（20√3,0）,转换成极坐标（20√3,0）（其中ρ0= 20√3,θ0=0）.以t为参数（0 < t t )的积分 w dt
= ( t:0->t )的积分 √3 / (24 - 3t) dt
= √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)]
极坐标方程（速度方向、原点坐标、起始点坐标都没设定,这只是一个例子）
ρ = 20√3 - 5√3/2 t
θ = √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)] （以2π为循环,大于2π时减去2π即可）
它们相遇前,绕O转动角度θ趋近无穷