不等式综合题已知f（x）在（-1,1）上有意义,且f（1/2）=-1,且满足x,y∈（-1,1）,有f（x）+f（y）=f[（x+y）/（1+xy）].1.求证：f（x）在（-1,1）上是奇函数2.定义数列{Xn}：X1=1/2,Xn+1=2Xn/1+Xn^2,f（Xn）3.求证:1/f（X1）+1/f（X2）+…+1/f（Xn）＞-（2n+5）/（n+2）
2019-05-30
不等式综合题
已知f（x）在（-1,1）上有意义,且f（1/2）=-1,且满足x,y∈（-1,1）,有f（x）+f（y）=f[（x+y）/（1+xy）].
1.求证：f（x）在（-1,1）上是奇函数
2.定义数列{Xn}：X1=1/2,Xn+1=2Xn/1+Xn^2,f（Xn）
3.求证:1/f（X1）+1/f（X2）+…+1/f（Xn）＞-（2n+5）/（n+2）
优质解答
1、令x=y=0得f（0）=0
令y=-x,f（x）+f（-x）=f（0）=0,故为奇函数.
2、令x=y=Xn,2f（Xn）=f（2Xn/1+Xn^2）=f(Xn+1)即{f（Xn）}为首项f（X1）=-1,公比为2的等比数列.f（Xn）=-2^(n-1).
3、1/f（X1）+1/f（X2）+…+1/f（Xn）=-（1-（1/2)^n）/(1-1/2)=-2+(1/2)^(n-1)>-2-1/(n+2)=-(2n+5)/(n+2).
1、令x=y=0得f（0）=0
令y=-x,f（x）+f（-x）=f（0）=0,故为奇函数.
2、令x=y=Xn,2f（Xn）=f（2Xn/1+Xn^2）=f(Xn+1)即{f（Xn）}为首项f（X1）=-1,公比为2的等比数列.f（Xn）=-2^(n-1).
3、1/f（X1）+1/f（X2）+…+1/f（Xn）=-（1-（1/2)^n）/(1-1/2)=-2+(1/2)^(n-1)>-2-1/(n+2)=-(2n+5)/(n+2).