高等数学中分部积分法导出正弦n次方的不定积分的递推公式,
2019-05-30
高等数学中分部积分法导出正弦n次方的不定积分的递推公式,
优质解答
J = ∫sin^n(x) dx
= ∫sin^(n-1)(x) * sinx dx
= -∫sin^(n-1)(x) d(cosx),分部积分法
= -cosx * sin^(n-1)(x) + ∫cosx d[sin^(n-1)(x)],分部积分法
= -cosx * sin^(n-1)(x) + ∫cosx * (n-1) * sin^(n-2)(x) * cosx dx
= -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) * (1-sin²x) dx
= -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) dx - (n-1)J
[1+(n-1)]J = -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
J = -(1/n)cosx * sin^(n-1)(x) + [(n-1)/n]∫sin^(n-2)(x) + C
J = ∫sin^n(x) dx
= ∫sin^(n-1)(x) * sinx dx
= -∫sin^(n-1)(x) d(cosx),分部积分法
= -cosx * sin^(n-1)(x) + ∫cosx d[sin^(n-1)(x)],分部积分法
= -cosx * sin^(n-1)(x) + ∫cosx * (n-1) * sin^(n-2)(x) * cosx dx
= -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) * (1-sin²x) dx
= -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) dx - (n-1)J
[1+(n-1)]J = -cosx * sin^(n-1)(x) + (n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
J = -(1/n)cosx * sin^(n-1)(x) + [(n-1)/n]∫sin^(n-2)(x) + C