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设随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρxy=-12，设Z=X3+Y2，（1）求Z的数学期望EZ和DZ方差．（2）求X与Z的相关系数ρxz．（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

2019-05-30

设随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρxy=-
1
2
，设Z=
X
3
+
Y
2
，
（1）求Z的数学期望EZ和DZ方差．
（2）求X与Z的相关系数ρxz．
（3）问X与Z是否相互独立？为什么？
优质解答

（1）
∵X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），
∴由数学期望的性质，有：
EZ＝E(
X
3
+
Y
2
)＝
1
3
EX+
1
2
EY＝
1
3
•1+
1
2
•0＝
1
3
，
由方差和协方差的关系以及方差和协方差的性质，有：
DZ＝D(
X
3
)+D(
Y
2
)+2Cov(
X
3
，
Y
2
)=
1
9
DX+
1
4
DY+2•
1
3
•
1
2
Cov(X，Y)=5+
1
3
Cov(X，Y)，
又X与Y的相关系数：ρxy=-
1
2
，
而：ρXY＝
Cov(X，Y)
DX
DY
，
∴Cov(X，Y)＝−
1
2
•3•4＝−6，
∴DZ=5-2=3．

（2）
∵Cov(X，Z)＝Cov(X，
X
3
+
Y
2
)
=Cov(X，
X
3
)+Cov(X，
Y
2
)＝
1
3
Cov(X，X)+
1
2
Cov（X，Y）=3+
1
2
Cov(X，Y)，
又：ρXZ＝
Cov(X，Z)
DX
DZ
，Cov（X，Y）=-6，DZ=3，
∴ρXZ＝
3+
1
2
•(−6)
3•
3
＝0．

（3）
∵（X，Y）服从二维正态分布，而Z=
X
3
+
Y
2
也服从正态分布，
∴（X，Z）也服从二维正态分布，
由（2）知X与Z的相关系数：ρxz=0，
∴X与Z是相互独立的．
（1）
∵X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），
∴由数学期望的性质，有：
EZ＝E(
X
3
+
Y
2
)＝
1
3
EX+
1
2
EY＝
1
3
•1+
1
2
•0＝
1
3
，
由方差和协方差的关系以及方差和协方差的性质，有：
DZ＝D(
X
3
)+D(
Y
2
)+2Cov(
X
3
，
Y
2
)=
1
9
DX+
1
4
DY+2•
1
3
•
1
2
Cov(X，Y)=5+
1
3
Cov(X，Y)，
又X与Y的相关系数：ρxy=-
1
2
，
而：ρXY＝
Cov(X，Y)
DX
DY
，
∴Cov(X，Y)＝−
1
2
•3•4＝−6，
∴DZ=5-2=3．

（2）
∵Cov(X，Z)＝Cov(X，
X
3
+
Y
2
)
=Cov(X，
X
3
)+Cov(X，
Y
2
)＝
1
3
Cov(X，X)+
1
2
Cov（X，Y）=3+
1
2
Cov(X，Y)，
又：ρXZ＝
Cov(X，Z)
DX
DZ
，Cov（X，Y）=-6，DZ=3，
∴ρXZ＝
3+
1
2
•(−6)
3•
3
＝0．

（3）
∵（X，Y）服从二维正态分布，而Z=
X
3
+
Y
2
也服从正态分布，
∴（X，Z）也服从二维正态分布，
由（2）知X与Z的相关系数：ρxz=0，
∴X与Z是相互独立的．
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