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一、 用万有引力定律和牛顿运动定律估算天体质量
在天体运动中,近似认为天体的运动是匀速圆周运动,在其运动过程中起决定因素的是万有引力,即万有引力提供天体做匀速圆周运动所需的向心力,有G(mM/r2)=m × (2π/T)2×r 其中周期可通过天文观测方式获得,从而可得天体质量为：M = [(2π/T)2×r3] / G
例：（2001年理综）太阳现正处于主序星演化阶段,它主要是由电子和 11H、24He等原子核组成.维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应,核反应方程是2e+411H---24He+ 释放的核能,这些核能最后转化为辐射能.根据目前关于恒星演化的理论,若由于聚变反应而使太阳中的11H核的数目从现有数减少10％,太阳将离开主序星阶段而转入红巨星的演化阶段.为了简化,假定目前太阳全部由电子和11H核组成.
（1） 为了研究太阳演化过程,需要知道目前太阳的质量M.已知地球半径为R=6.4×106m ,地球质量为m=6.0×1024 kg,日地中心的距离为 r=1.5×1011m,地球表面处的重力加速度为g=10m/s2 ,一年约为3.2×107 s.试估算日前太阳的质量M.（估算结果只要求一位有效数字,另第二、三问略）
分析：设T为地球绕日心运动的周期,则由万有引力定律和牛顿运动定律可知：
G(mM/r2) = m × (2π/T)2×r-----------①
地球表面处的重力加速度：
g = G(mM/r2)-----------------------②
由①②式联立解得：
M = m × (2π/T)2×(r3/R2g)
以题结数值代入,得M = 2 × 1030Kg.
二、 用天体真半径和表面重力加速度推算天体质量
在天体表面,物体所受万有引力与它所受重力近似相等,由万有引力定律有：G(mM/R2)=mg
即M = gR2/G
例:由天文观测可得月球的直径为3476km,月面上物体做自由落体运动的重力加速度为1.62m/s2,则月球的质量为：M月= g月R2月/G = g月D2月/4G = 1.62×(3.476×106)2/(4×6.67×10-11)Kg = 7.34×1022 Kg
三、 由开普勒第三定律估算天体质量
开普勒三定律注①是关于行星围绕太阳运动的规律,是德国天文学家开普勒认真分析了丹麦天文学家第谷·布拉赫的大量对天体运行观测资料的基础上提出的,它的内容是：
开普勒第一定律（椭团轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳是在这些椭圆的一个焦点上,但行星轨道的偏心率都比较小,例如,地球轨道的偏心率只有0.0167,很接近于圆.
开普勒第二定律（面积定律）：对每个行星来说,太阳和行星的联线在相等的时间内扫过的面积相等.
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.即：a3/T2 = C（常数）
由于第谷·布拉赫的资料都是靠肉眼观测记录的,开普勒三定律与行星实际运行的情况有少许偏离,后来人们修正了开普勒第三定律,得到准确的表达式是：a3/T2(M+m) = G/4π2
其中M为太阳的质量；m为行星的质量；a为椭圆轨道的长半轴；T为行星的公转周期；万有引力常数 G = 6.67×10-11N·m2/Kg2.
例：试估算银河系的质量.
分析：测量银河系的质量时,为了便于分析和计算,通常改变修正后的开普勒第三定律中的 和 的单位.如果设地球到太阳的平均距离为 =1天文单位,地球绕太阳公转的周期 =1年,则对地球和太阳这个系统而言,若略去地球质量,地球绕太阳运转的开普勒第三定律为:
13/12(M太+0) = G/4π2即 G/4π2 = 1/M太--------③
选太阳和银河系为一个系统,由开普勒第三定律有：
a3/T2(M银+M太) = G/4π2-----------------------④
长期的天文观测可知,太阳以250km/s 的速度带领着太阳系中的星体绕银河系的中心旋转,若取天文单位为距离单位,年为周期单位,太阳每转一周约需T=2.4×108年；太阳到银河系中心的距离为 a ≈33000光年=2.06×109天文单位,联立③④可得:M银+M太= (2.06×109)3M太/(2.4×108)2= 1.5×1011M太
这里M太是太阳绕银河系的中心旋转的轨道以内银河系诸星体的质量,因M太 ×M银 ,故M银=1.5×1011M太,即银河系的质量至少是太阳的1.5千亿倍!
四、 用天体的质量和光度之比的质光关系估算天体质量
所谓质光关系注②就是恒星的质量和绝对光度之间的一个重要关系,最早为哈姆所提出,并在1919年由赫茨普龙通过观测资料证实,1924年爱丁顿从理论上导出绝对光度为L的恒星与其质量M的关系为：L = kM3.5
其中绝对光度L可由实际观察得到, 为常数,它与哈勃常数H有关.由上式可估算天体的质量为：M = (L/k)2/7
该方法除对物理性质特殊的巨星、白矮星和某些致密天体不适用外,对占恒星总数的90％的主序星非常适用.
除以上方法可以估算天体质量以外,还有注③:用维里定理估算天体的质量（称为"维里质量"）；双谱分光双星又是食双星可由分光解和测光解中的轨道倾角,可求得两子星的质量；双谱分光双星又是干涉双星,可由分光解和轨道倾角,可计算出两子星的质量；双谱分光双星的分光解加上偏振观测所得轨道倾角可得出两子星的质量；利用已知半径的白矮星的引力红移量求白矮星的质量；利用恒星在赫罗图上的理论演化轨迹估算恒星质量（称为"演化质量"）；对已知真半径的脉动变星,可以由脉动周期估算平均密度,从而得出质量（称为"脉动质量"）等方法.
当然,天体的质量随着时间而不断变化,主要是由于热核反应把质量不断转变为辐射能和许多天体因大气膨胀或抛射物质而不断损失质量.而且仍有不少恒星的质量数据至今还很不可靠或精度甚低,如大角、老人、织女一、河鼓二、参宿四、心宿二等亮星,欲得到精度较高的恒星的质量,人们仍有大量的工作要做.
参考书目：
注①：《中国大百科全书天文学》第189页"开普勒定律"条目,中国大百科全书出版社出版,1980 年12月第一版
注②：同上,第556页"质光关系"条目
注③: 同上,第144--145页"恒星质量"条目
一、 用万有引力定律和牛顿运动定律估算天体质量
在天体运动中,近似认为天体的运动是匀速圆周运动,在其运动过程中起决定因素的是万有引力,即万有引力提供天体做匀速圆周运动所需的向心力,有G(mM/r2)=m × (2π/T)2×r 其中周期可通过天文观测方式获得,从而可得天体质量为：M = [(2π/T)2×r3] / G
例：（2001年理综）太阳现正处于主序星演化阶段,它主要是由电子和 11H、24He等原子核组成.维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应,核反应方程是2e+411H---24He+ 释放的核能,这些核能最后转化为辐射能.根据目前关于恒星演化的理论,若由于聚变反应而使太阳中的11H核的数目从现有数减少10％,太阳将离开主序星阶段而转入红巨星的演化阶段.为了简化,假定目前太阳全部由电子和11H核组成.
（1） 为了研究太阳演化过程,需要知道目前太阳的质量M.已知地球半径为R=6.4×106m ,地球质量为m=6.0×1024 kg,日地中心的距离为 r=1.5×1011m,地球表面处的重力加速度为g=10m/s2 ,一年约为3.2×107 s.试估算日前太阳的质量M.（估算结果只要求一位有效数字,另第二、三问略）
分析：设T为地球绕日心运动的周期,则由万有引力定律和牛顿运动定律可知：
G(mM/r2) = m × (2π/T)2×r-----------①
地球表面处的重力加速度：
g = G(mM/r2)-----------------------②
由①②式联立解得：
M = m × (2π/T)2×(r3/R2g)
以题结数值代入,得M = 2 × 1030Kg.
二、 用天体真半径和表面重力加速度推算天体质量
在天体表面,物体所受万有引力与它所受重力近似相等,由万有引力定律有：G(mM/R2)=mg
即M = gR2/G
例:由天文观测可得月球的直径为3476km,月面上物体做自由落体运动的重力加速度为1.62m/s2,则月球的质量为：M月= g月R2月/G = g月D2月/4G = 1.62×(3.476×106)2/(4×6.67×10-11)Kg = 7.34×1022 Kg
三、 由开普勒第三定律估算天体质量
开普勒三定律注①是关于行星围绕太阳运动的规律,是德国天文学家开普勒认真分析了丹麦天文学家第谷·布拉赫的大量对天体运行观测资料的基础上提出的,它的内容是：
开普勒第一定律（椭团轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳是在这些椭圆的一个焦点上,但行星轨道的偏心率都比较小,例如,地球轨道的偏心率只有0.0167,很接近于圆.
开普勒第二定律（面积定律）：对每个行星来说,太阳和行星的联线在相等的时间内扫过的面积相等.
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.即：a3/T2 = C（常数）
由于第谷·布拉赫的资料都是靠肉眼观测记录的,开普勒三定律与行星实际运行的情况有少许偏离,后来人们修正了开普勒第三定律,得到准确的表达式是：a3/T2(M+m) = G/4π2
其中M为太阳的质量；m为行星的质量；a为椭圆轨道的长半轴；T为行星的公转周期；万有引力常数 G = 6.67×10-11N·m2/Kg2.
例：试估算银河系的质量.
分析：测量银河系的质量时,为了便于分析和计算,通常改变修正后的开普勒第三定律中的 和 的单位.如果设地球到太阳的平均距离为 =1天文单位,地球绕太阳公转的周期 =1年,则对地球和太阳这个系统而言,若略去地球质量,地球绕太阳运转的开普勒第三定律为:
13/12(M太+0) = G/4π2即 G/4π2 = 1/M太--------③
选太阳和银河系为一个系统,由开普勒第三定律有：
a3/T2(M银+M太) = G/4π2-----------------------④
长期的天文观测可知,太阳以250km/s 的速度带领着太阳系中的星体绕银河系的中心旋转,若取天文单位为距离单位,年为周期单位,太阳每转一周约需T=2.4×108年；太阳到银河系中心的距离为 a ≈33000光年=2.06×109天文单位,联立③④可得:M银+M太= (2.06×109)3M太/(2.4×108)2= 1.5×1011M太
这里M太是太阳绕银河系的中心旋转的轨道以内银河系诸星体的质量,因M太 ×M银 ,故M银=1.5×1011M太,即银河系的质量至少是太阳的1.5千亿倍!
四、 用天体的质量和光度之比的质光关系估算天体质量
所谓质光关系注②就是恒星的质量和绝对光度之间的一个重要关系,最早为哈姆所提出,并在1919年由赫茨普龙通过观测资料证实,1924年爱丁顿从理论上导出绝对光度为L的恒星与其质量M的关系为：L = kM3.5
其中绝对光度L可由实际观察得到, 为常数,它与哈勃常数H有关.由上式可估算天体的质量为：M = (L/k)2/7
该方法除对物理性质特殊的巨星、白矮星和某些致密天体不适用外,对占恒星总数的90％的主序星非常适用.
除以上方法可以估算天体质量以外,还有注③:用维里定理估算天体的质量（称为"维里质量"）；双谱分光双星又是食双星可由分光解和测光解中的轨道倾角,可求得两子星的质量；双谱分光双星又是干涉双星,可由分光解和轨道倾角,可计算出两子星的质量；双谱分光双星的分光解加上偏振观测所得轨道倾角可得出两子星的质量；利用已知半径的白矮星的引力红移量求白矮星的质量；利用恒星在赫罗图上的理论演化轨迹估算恒星质量（称为"演化质量"）；对已知真半径的脉动变星,可以由脉动周期估算平均密度,从而得出质量（称为"脉动质量"）等方法.
当然,天体的质量随着时间而不断变化,主要是由于热核反应把质量不断转变为辐射能和许多天体因大气膨胀或抛射物质而不断损失质量.而且仍有不少恒星的质量数据至今还很不可靠或精度甚低,如大角、老人、织女一、河鼓二、参宿四、心宿二等亮星,欲得到精度较高的恒星的质量,人们仍有大量的工作要做.
参考书目：
注①：《中国大百科全书天文学》第189页"开普勒定律"条目,中国大百科全书出版社出版,1980 年12月第一版
注②：同上,第556页"质光关系"条目
注③: 同上,第144--145页"恒星质量"条目