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（2014•淄博三模）（理）已知点M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=4的距离等于点M到点D（1，0）的距离的2倍．记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）斜率为12的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P（1，32），设直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，求kPA+kPB的数值；（3）试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

2019-04-29

（2014•淄博三模）（理）已知点M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=4的距离等于点M到点D（1，0）的距离的2倍．记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为
1
2
的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P（1，
3
2
），设直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，求kPA+kPB的数值；
（3）试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．
优质解答
（1）∵点M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，
点M到直线x=4的距离等于点M到点D（1，0）的距离的2倍，
∴|x-4|=2
(x−1)2+y2
．
化简，得曲线C的方程：
x2
4
+
y2
3
＝1．
（2）∵直线l的斜率为
1
2
，且不过P（1，
3
2
）点，
∴设直线l：y=
1
2
x+m，m≠1．
联立方程组
x2
4
+
y2
3
＝1
y＝
1
2
x+m
，得x2+mx+m2-3=0．
又交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴
x1+x2 ＝−m
x1x2＝m2−3
，
∵△=m2-4（m2-3）＞0，∴-2＜m＜2．
∴kPA+kPB=
(x−1)2+y2
．
化简，得曲线C的方程：
x2
4
+
y2
3
＝1．
（2）∵直线l的斜率为
1
2
，且不过P（1，
3
2
）点，
∴设直线l：y=
1
2
x+m，m≠1．
联立方程组
x2
4
+
y2
3
＝1
y＝
1
2
x+m
，得x2+mx+m2-3=0．
又交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴
x1+x2 ＝−m
x1x2＝m2−3
，
∵△=m2-4（m2-3）＞0，∴-2＜m＜2．
∴kPA+kPB=
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