优质解答
环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成,这两种运算可称为加法和乘法.一个环必须遵守以下规律：
(R, +)形成一个可交换群,其单位元称作零元素,记作‘0’.即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略,所以 a·b 可简写为 ab. 此外,乘法是比加法优先的运算,所以 a + bc 其实是 a + (b·c).
几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中,对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求.如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元,记作‘1’),则这个环称为含幺环或含单位元环.
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律,但并没有要求乘法也具有交换律.如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba,那么这个环就称为交换环.
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后,对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群）,那么这个环就称为除环.除环不一定是交换环,比如四元数环.交换的除环就是域.
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群,但R\{0}对乘法不一定形成半群.因为如果有两个非零元素的乘积是零,R\{0}对乘法就不是封闭的.如果R\{0}对乘法仍然形成半群,那么这个环就称为无零因子环.
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零.
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环.例如多项式环和整数环.
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环.
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解,称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环.
有理数环,实数域,复数域都是交换的含单位元环.
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环.称为A上的多项式环.
n为正整数,所有n×n的实数矩阵构成一个环.
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环, 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群.令I是R的子集.那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群.
对于任意 和 有 .
左理想： 类似地,I称为R的左理想如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群.
对于任意 和 有 .
如果I既是右理想,也是左理想,那么I就叫做双边理想,简称理想.
例子：
整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想.
除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想.
一般性质：
定理1 在环中,(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想.
定理2 在环中,(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想.
对于R的两个理想A,B,记.按定义不难证明下面的基本性质：
(1) 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想.
如果A环R的一个非空子集,令=RA+AR+RAR+ZA,则是环R的理想,这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集.同群的生成子群类似,是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想.下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时,=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时,=RAR
(3) 当是有单位元交换环时,=RA
主理想：如果是个n元集合,则记,称是有限生成理想.特别当是单元素集时,称为环R的主理想.注意作为生成元一般不是唯一的,如.的一般形式是：
性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环,则
(2) 如果是有单位元的环,则
(3) 如果是有单位元的交换环,则
真理想： 如果I是R的真子集,I就叫做R的真理想.
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想,如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集.
极大左理想：设 I 是环R的左理想,如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想,则称 I 是环R的一个极大左理想.极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想,又是双边理想,则 I 是极大理想.
(2)极大理想未必是极大左理想.
除环的零理想是极大理想.在有单位元的环中,如果零理想是其极大理想,称这种环是单环.除环是单环,域也是单环.反之则不对,即存在不是除环的单环.
定理1 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数.
定理2 设R是有单位元1的交换环.理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域.
定理3 设 I 是环R的左理想,则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R.
素理想：真理想I被称为R的素理想,如果对于R的任意理想A,B, 可推出 或 .
素环：如果环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环).无零因子环是素环.在交换环R中,真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想,并且.如果对任意理想P,由,可得,则称 I 是环R的半素理想.
显然,半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想,因为素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想.
环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成,这两种运算可称为加法和乘法.一个环必须遵守以下规律：
(R, +)形成一个可交换群,其单位元称作零元素,记作‘0’.即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略,所以 a·b 可简写为 ab. 此外,乘法是比加法优先的运算,所以 a + bc 其实是 a + (b·c).
几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中,对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求.如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元,记作‘1’),则这个环称为含幺环或含单位元环.
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律,但并没有要求乘法也具有交换律.如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba,那么这个环就称为交换环.
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后,对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群）,那么这个环就称为除环.除环不一定是交换环,比如四元数环.交换的除环就是域.
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群,但R\{0}对乘法不一定形成半群.因为如果有两个非零元素的乘积是零,R\{0}对乘法就不是封闭的.如果R\{0}对乘法仍然形成半群,那么这个环就称为无零因子环.
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零.
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环.例如多项式环和整数环.
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环.
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解,称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环.
有理数环,实数域,复数域都是交换的含单位元环.
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环.称为A上的多项式环.
n为正整数,所有n×n的实数矩阵构成一个环.
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环, 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群.令I是R的子集.那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群.
对于任意 和 有 .
左理想： 类似地,I称为R的左理想如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群.
对于任意 和 有 .
如果I既是右理想,也是左理想,那么I就叫做双边理想,简称理想.
例子：
整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想.
除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想.
一般性质：
定理1 在环中,(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想.
定理2 在环中,(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想.
对于R的两个理想A,B,记.按定义不难证明下面的基本性质：
(1) 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想.
如果A环R的一个非空子集,令=RA+AR+RAR+ZA,则是环R的理想,这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集.同群的生成子群类似,是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想.下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时,=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时,=RAR
(3) 当是有单位元交换环时,=RA
主理想：如果是个n元集合,则记,称是有限生成理想.特别当是单元素集时,称为环R的主理想.注意作为生成元一般不是唯一的,如.的一般形式是：
性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环,则
(2) 如果是有单位元的环,则
(3) 如果是有单位元的交换环,则
真理想： 如果I是R的真子集,I就叫做R的真理想.
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想,如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集.
极大左理想：设 I 是环R的左理想,如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想,则称 I 是环R的一个极大左理想.极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想,又是双边理想,则 I 是极大理想.
(2)极大理想未必是极大左理想.
除环的零理想是极大理想.在有单位元的环中,如果零理想是其极大理想,称这种环是单环.除环是单环,域也是单环.反之则不对,即存在不是除环的单环.
定理1 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数.
定理2 设R是有单位元1的交换环.理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域.
定理3 设 I 是环R的左理想,则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R.
素理想：真理想I被称为R的素理想,如果对于R的任意理想A,B, 可推出 或 .
素环：如果环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环).无零因子环是素环.在交换环R中,真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想,并且.如果对任意理想P,由,可得,则称 I 是环R的半素理想.
显然,半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想,因为素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想.