优质解答
在生活中向量也有一些具体表现形式,有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系,将生活与数学知识之间进行沟通,使动静转换充实到解题过程之中.
一、平面向量在位移与速度上的应用
例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).
求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);
此人行走的速度向量(用坐标表示);
少年宫C点相对于广场中心所处的位置.
(下列数据供选用:tan18°24＝0.3327,tan18°26= 13 ,tan2＝0.0006)
分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时,故需先将时间换成小时.而速度等于位移除以时间,由三角知识可求出坐标表示的速度向量.⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解.
⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5),
|AB|＝(-5)2+52＝52,∠xOB＝135°
∴此人的位移为“西北52百米”.
⑵t＝10分＝ 16 小时,|V|＝ |AB|t ＝302
∴Vx＝|V|cos135°＝－30,Vy＝|V|sin135°＝30,∴V＝(－30,30)
⑶∵AC＝ 610 AB,∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)
∴|OC|＝10,又tan(18°24＋2)＝ 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13
而tan∠COy＝ 13 ,∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26.
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26,10百米”处.
评注：以生活中的位移、速度为背景的向量应用题,首先要写出有关向量,利用向量中的模来求解.本题是向量知识与三角知识的交汇,主要是依托平面向量的模、方位角等通过形和数的相互转化,实现与三角的有机整合,同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力.
二、平面向量在力的平衡上的应用
例2 帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第2届奥运会开始列为正式比赛项目,帆船的最大动力来源是"伯努利效应".如果一帆船所受"伯努利效应"产生力的效果可使船向北偏东30º以速度20 km/h行驶,而此时水的流向是正东,流速为20 km/h．若不考虑其它因素,求帆船的速度与方向.
分析:帆船水中行驶,受到两个速度影响:伯努利效应"产生力的效果为使船向北偏东30º,速度是20 km/h,及水的流向是正东,流速为20 km/h.这两个速度的和就为帆船行驶的速度.根据题意,建立数学模型,运用向量的坐标运算来解决问题.
如图建立直角坐标系,"伯努利效应"的速度为V1=20 km/h,水的流速为V2=20 km/h,帆船行驶的速度为V,则V=V1+V2.
由题意可得向量V1的坐标为(20cos60o,20sin60o)即V1=(10,10 ),向量V2的坐标为V2=(20,0)
则帆船行驶速度V的坐标为
V=V1+V2=(10,10 )+(20,0)=(30,10 )
∴|V|= ,∵tanα= ,α为锐角∴α=30o
∴帆船向北偏东行驶.
答:帆船向北偏东60o行驶,速度为203 km/h.
评注：在利用向量的坐标运算解决生活中有关问题时,先根据情况建立向量模型,利用直角坐标系,得到向量的坐标,再按照向量坐标运算法则,得出答案,解决实际问题.
三、平面向量的数量积在生活中的应用
例3 某同学购买了x支A型笔,y支B型笔,A型笔的价格为m元,B型笔的价格为n元.把购买A、B型笔的数量x、y构成数量向量a=(x,y),把价格m、n构成价格向量b=(m,n).则向量a与b的数量积表示的意义是_______________.
解析：此题根据购卖A、B两种型号的笔的数量与价格构成了一个二元向量a,b.根据向量的数量积的运算公式可得a•b=xm+yn.而xm表示购买A型笔所用的钱数；yn表示购买B型笔所用的钱数.所以向量a与b的数量积表示的意义是购买两种笔所用的总钱数.
评注：本题把生活中的平常事件转化为了向量问题,运用向量的数量积一下子解决了购买所用的总钱数.利用这种方法,我们还可以推广到多种商品,构建多元向量,就可以有序快捷得到购买时所用的总钱数.同学们可以试一试.
向量在生活中的应用,大多是和坐标平面的整合,这时关键是确定点的坐标,再确定向量的坐标.从而达到向量关系与坐标关系的互译,架起了生活与向量之间的桥梁.把向量的基本思想应用到实际生活中,可使我们能够更加直观地通过向量视角观察生活,也让向量更好地为我们服务,解决更多的实际生活问题.
在生活中向量也有一些具体表现形式,有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系,将生活与数学知识之间进行沟通,使动静转换充实到解题过程之中.
一、平面向量在位移与速度上的应用
例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).
求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);
此人行走的速度向量(用坐标表示);
少年宫C点相对于广场中心所处的位置.
(下列数据供选用:tan18°24＝0.3327,tan18°26= 13 ,tan2＝0.0006)
分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时,故需先将时间换成小时.而速度等于位移除以时间,由三角知识可求出坐标表示的速度向量.⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解.
⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5),
|AB|＝(-5)2+52＝52,∠xOB＝135°
∴此人的位移为“西北52百米”.
⑵t＝10分＝ 16 小时,|V|＝ |AB|t ＝302
∴Vx＝|V|cos135°＝－30,Vy＝|V|sin135°＝30,∴V＝(－30,30)
⑶∵AC＝ 610 AB,∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)
∴|OC|＝10,又tan(18°24＋2)＝ 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13
而tan∠COy＝ 13 ,∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26.
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26,10百米”处.
评注：以生活中的位移、速度为背景的向量应用题,首先要写出有关向量,利用向量中的模来求解.本题是向量知识与三角知识的交汇,主要是依托平面向量的模、方位角等通过形和数的相互转化,实现与三角的有机整合,同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力.
二、平面向量在力的平衡上的应用
例2 帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第2届奥运会开始列为正式比赛项目,帆船的最大动力来源是"伯努利效应".如果一帆船所受"伯努利效应"产生力的效果可使船向北偏东30º以速度20 km/h行驶,而此时水的流向是正东,流速为20 km/h．若不考虑其它因素,求帆船的速度与方向.
分析:帆船水中行驶,受到两个速度影响:伯努利效应"产生力的效果为使船向北偏东30º,速度是20 km/h,及水的流向是正东,流速为20 km/h.这两个速度的和就为帆船行驶的速度.根据题意,建立数学模型,运用向量的坐标运算来解决问题.
如图建立直角坐标系,"伯努利效应"的速度为V1=20 km/h,水的流速为V2=20 km/h,帆船行驶的速度为V,则V=V1+V2.
由题意可得向量V1的坐标为(20cos60o,20sin60o)即V1=(10,10 ),向量V2的坐标为V2=(20,0)
则帆船行驶速度V的坐标为
V=V1+V2=(10,10 )+(20,0)=(30,10 )
∴|V|= ,∵tanα= ,α为锐角∴α=30o
∴帆船向北偏东行驶.
答:帆船向北偏东60o行驶,速度为203 km/h.
评注：在利用向量的坐标运算解决生活中有关问题时,先根据情况建立向量模型,利用直角坐标系,得到向量的坐标,再按照向量坐标运算法则,得出答案,解决实际问题.
三、平面向量的数量积在生活中的应用
例3 某同学购买了x支A型笔,y支B型笔,A型笔的价格为m元,B型笔的价格为n元.把购买A、B型笔的数量x、y构成数量向量a=(x,y),把价格m、n构成价格向量b=(m,n).则向量a与b的数量积表示的意义是_______________.
解析：此题根据购卖A、B两种型号的笔的数量与价格构成了一个二元向量a,b.根据向量的数量积的运算公式可得a•b=xm+yn.而xm表示购买A型笔所用的钱数；yn表示购买B型笔所用的钱数.所以向量a与b的数量积表示的意义是购买两种笔所用的总钱数.
评注：本题把生活中的平常事件转化为了向量问题,运用向量的数量积一下子解决了购买所用的总钱数.利用这种方法,我们还可以推广到多种商品,构建多元向量,就可以有序快捷得到购买时所用的总钱数.同学们可以试一试.
向量在生活中的应用,大多是和坐标平面的整合,这时关键是确定点的坐标,再确定向量的坐标.从而达到向量关系与坐标关系的互译,架起了生活与向量之间的桥梁.把向量的基本思想应用到实际生活中,可使我们能够更加直观地通过向量视角观察生活,也让向量更好地为我们服务,解决更多的实际生活问题.