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这个问题很难
①逻辑主义.
以罗素和A.N怀特海为代表.他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念,而算术概念可借助逻辑由定义给出.他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统,并由此推出全部数学.逻辑主义认为数学是逻辑的延伸,在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理.如果没有这两条公理就无法推导出全部算术,更不用说全部数学.当然,罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系,并且在此基础上展示了丰富的数学内容,对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用,贡献是很大的.
②直觉主义.
又称构造主义.它的代表人物是L.E.J.布劳威尔.直觉主义者认为数学产生于直觉,论证只能用构造方法,他们认为自然数是数学的基础.当证明一个数学命题正确时,必须给出它的构造方法,否则就是毫无意义的,直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的,把它应用于无穷数学就必然引起矛盾.他们反对在无穷集合中使用排中律.他们不承认实无穷体,认为无穷是潜在的,只不过是无限增长的可能性.可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用.但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂.失去了数学的美,因而不被大多数数学家接受.
③形式主义.
以D.希尔伯特为代表,可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点.希尔伯特主张捍卫排中律,他认为要避免数学中的悖论,只要使数学形式化和证明标准化.为了使形式化后的数学系统不包含矛盾,他创立了证明论(元数学).他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性.1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,表明希尔伯特方案不能成功.后来许多人对希尔伯特方案加以改进.W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性.在数学基础的研究中,鲁宾孙,P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者）,他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统,“无穷集”,“无穷整体”等在客观上是不存在的.希尔伯特的设想虽然没有实现,但却创立了证明论,又促进了递归论的发展,因此对数学基础的研究有很大的贡献.
这个问题很难
①逻辑主义.
以罗素和A.N怀特海为代表.他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念,而算术概念可借助逻辑由定义给出.他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统,并由此推出全部数学.逻辑主义认为数学是逻辑的延伸,在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理.如果没有这两条公理就无法推导出全部算术,更不用说全部数学.当然,罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系,并且在此基础上展示了丰富的数学内容,对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用,贡献是很大的.
②直觉主义.
又称构造主义.它的代表人物是L.E.J.布劳威尔.直觉主义者认为数学产生于直觉,论证只能用构造方法,他们认为自然数是数学的基础.当证明一个数学命题正确时,必须给出它的构造方法,否则就是毫无意义的,直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的,把它应用于无穷数学就必然引起矛盾.他们反对在无穷集合中使用排中律.他们不承认实无穷体,认为无穷是潜在的,只不过是无限增长的可能性.可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用.但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂.失去了数学的美,因而不被大多数数学家接受.
③形式主义.
以D.希尔伯特为代表,可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点.希尔伯特主张捍卫排中律,他认为要避免数学中的悖论,只要使数学形式化和证明标准化.为了使形式化后的数学系统不包含矛盾,他创立了证明论(元数学).他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性.1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,表明希尔伯特方案不能成功.后来许多人对希尔伯特方案加以改进.W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性.在数学基础的研究中,鲁宾孙,P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者）,他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统,“无穷集”,“无穷整体”等在客观上是不存在的.希尔伯特的设想虽然没有实现,但却创立了证明论,又促进了递归论的发展,因此对数学基础的研究有很大的贡献.