高中数学题库问答--关于立体几何已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1的棱长为a,E F 分别是BC,A1 D1的中点.（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C 与 DE所成的角的余弦值
2019-03-30
高中数学题库问答--关于立体几何
已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1的棱长为a,E F 分别是BC,A1 D1的中点.（1）求证：四边形B1EDF为菱形；
（2）求A1C 与 DE所成的角的余弦值
优质解答
(1)证明：∵E F 分别是BC,A1 D1的中点
∴FD1=FA1=BE=CE=a／2
∵ ABCD-A1 B1 C1 D1是正方体
∴FD=√(a²+（a／2）²=FB1=B1E=DE
∴四边形B1EDF为菱形
∵四边形B1EDF为菱形
∴DE‖FB1
延长C1B1到M,使得B1M=a/2.连结MA1、MC
∵ A1F‖＝B1M
∴四边形A1MB1F是平行四边形
∴A1M‖FB1‖DE,A1M=FB1=(√5／2）·a
A1C=√3a,MC=√（MC1²＋C1C²）=(√13／2）·a
cos∠CA1M=（√15）／15 （余弦定理公式）
∴A1C 与 A1M所成的角的余弦值为（√15）／15
∵A1M‖ DE
∴ A1C 与 DE所成的角的余弦值 （√15）／15
(1)证明：∵E F 分别是BC,A1 D1的中点
∴FD1=FA1=BE=CE=a／2
∵ ABCD-A1 B1 C1 D1是正方体
∴FD=√(a²+（a／2）²=FB1=B1E=DE
∴四边形B1EDF为菱形
∵四边形B1EDF为菱形
∴DE‖FB1
延长C1B1到M,使得B1M=a/2.连结MA1、MC
∵ A1F‖＝B1M
∴四边形A1MB1F是平行四边形
∴A1M‖FB1‖DE,A1M=FB1=(√5／2）·a
A1C=√3a,MC=√（MC1²＋C1C²）=(√13／2）·a
cos∠CA1M=（√15）／15 （余弦定理公式）
∴A1C 与 A1M所成的角的余弦值为（√15）／15
∵A1M‖ DE
∴ A1C 与 DE所成的角的余弦值 （√15）／15