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翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此小菲同学结合某市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究．你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可．）（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干

2019-04-14

翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此小菲同学结合某市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究．你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可．）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过______次旋转，顶点O经过的路程是
41+20
2
2
π．
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即O点，A点，B点的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置（即O点，A点，B点，C点的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
优质解答
（1）顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
（2）①顶点O经过的总路程为：
90
180
π×1×2+
90
180
π×
2
=π+
2
2
π=
2+
2
2
π，
②由①：每翻转一周顶点O经过的总路
2+
2
2
π，
由
41+20
2
2
π=
20(2+
2
)
2
+
π
2
．即翻转20周后再翻一次，共翻81次．                      
（3）①每翻三次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
共翻四周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
7
3
π×4=
28
3
π，
②②每翻四次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
162
180
π×1×2+
162
180
π×
2
=
81
45
π+
9
2
10
π，
共翻5周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
5×（
81
45
π+
9
2
10
π）=
18+9
2
2
π． （1）顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
（2）①顶点O经过的总路程为：
90
180
π×1×2+
90
180
π×
2
=π+
2
2
π=
2+
2
2
π，
②由①：每翻转一周顶点O经过的总路
2+
2
2
π，
由
41+20
2
2
π=
20(2+
2
)
2
+
π
2
．即翻转20周后再翻一次，共翻81次．                      
（3）①每翻三次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
共翻四周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
7
3
π×4=
28
3
π，
②②每翻四次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
162
180
π×1×2+
162
180
π×
2
=
81
45
π+
9
2
10
π，
共翻5周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
5×（
81
45
π+
9
2
10
π）=
18+9
2
2
π．
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