①由题意可知点（2，4）在抛物线y 2 =8x上 故过点（2，4）且与抛物线y 2 =8x只有一个公共点时只能是 i）过点（2，4）且与抛物线y 2 =8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确； ②过抛物线y 2 =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点， 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合． 故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1） 代入抛物线y 2 =4x得，k 2 x 2 -2（k 2 +2）x+k 2 =0 ∵A、B两点的横坐标之和等于5， ∴ 2( k 2 +2) k 2 =5，k 2 = 4 3 ，则这样的直线有且仅有两条，故②正确； ③由题意可得：双曲线x 2 -y 2 =3的渐近线方程为：y=± 1 2 x， 所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点， 所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错； ④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 当直线与实轴垂直时， 有3- y 2 2 =1，∴y=2， ∴直线AB的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确； ⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1 （1）当k存在时有 y=k(x-1)+1 x 2 - 1 2 y 2 =1 得（2-k 2 ）x 2 +（2k 2 -2k）x-k 2 +2k-3=0 （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k 2 -2k） 2 -4（2-k 2 ）（-k 2 +2k-3）＞0， ∴k＜ 3 2 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ） ∴x 1 +x 2 = 2(k- k 2 ) 2- k 2 又B（1，1）为线段AB的中点 ∴ x 1 + x 2 2 =1 即 2(k- k 2 ) 2- k 2 =1，∴k=2 当k=2，使2-k 2 ≠0但使△＜0 因此当k=2时，方程（1）无实数解 故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在． （2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件， 综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错． 故答案为：①②④．

①由题意可知点（2，4）在抛物线y 2 =8x上 故过点（2，4）且与抛物线y 2 =8x只有一个公共点时只能是 i）过点（2，4）且与抛物线y 2 =8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确； ②过抛物线y 2 =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点， 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合． 故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1） 代入抛物线y 2 =4x得，k 2 x 2 -2（k 2 +2）x+k 2 =0 ∵A、B两点的横坐标之和等于5， ∴ 2( k 2 +2) k 2 =5，k 2 = 4 3 ，则这样的直线有且仅有两条，故②正确； ③由题意可得：双曲线x 2 -y 2 =3的渐近线方程为：y=± 1 2 x， 所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点， 所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错； ④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 当直线与实轴垂直时， 有3- y 2 2 =1，∴y=2， ∴直线AB的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确； ⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1 （1）当k存在时有 y=k(x-1)+1 x 2 - 1 2 y 2 =1 得（2-k 2 ）x 2 +（2k 2 -2k）x-k 2 +2k-3=0 （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k 2 -2k） 2 -4（2-k 2 ）（-k 2 +2k-3）＞0， ∴k＜ 3 2 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ） ∴x 1 +x 2 = 2(k- k 2 ) 2- k 2 又B（1，1）为线段AB的中点 ∴ x 1 + x 2 2 =1 即 2(k- k 2 ) 2- k 2 =1，∴k=2 当k=2，使2-k 2 ≠0但使△＜0 因此当k=2时，方程（1）无实数解 故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在． （2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件， 综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错． 故答案为：①②④．