定义:P、Q分别是两条线段a,b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知,O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离为;当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为;(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.(3)当m值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M,
2019-05-03
定义:P、Q分别是两条线段a,b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知,O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离为___;当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为___;
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M,点D(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m值;若不存在,请说明理由.
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(1)当m=2,n=2时,
如题图1,线段BC与线段OA的距离(即线段BN的长)=2;
当m=5,n=2时,
B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,
如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,
在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB===;
故答案为:2,;
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,
ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:
∴d===.
(3)存在.
∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限.
∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.
如答图4所示,相似三角形有三种情形:
(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧.
如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m,
由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m),
∴m=1;
(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧.
如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2,
由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2),
∴m=3;
(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.
如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2,
过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,
由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n (1)
在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m-4)2+n2 (2)
由(1)、(2)式解得:m1=,m2=2,
当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,
∴m=.
综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1或3或
(1)当m=2,n=2时,
如题图1,线段BC与线段OA的距离(即线段BN的长)=2;
当m=5,n=2时,
B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,
如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,
在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB===;
故答案为:2,;
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,
ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:
∴d===.
(3)存在.
∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限.
∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.
如答图4所示,相似三角形有三种情形:
(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧.
如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m,
由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m),
∴m=1;
(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧.
如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2,
由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2),
∴m=3;
(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.
如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2,
过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,
由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n (1)
在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m-4)2+n2 (2)
由(1)、(2)式解得:m1=,m2=2,
当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,
∴m=.
综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1或3或
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