1、
ABCD共圆推出A+C=B+D=180利用圆周角定理容易证明.
反之,四边形ABCD中A+C=B+D=180,我们要证明ABCD共圆.
过ABC做圆,那么D点的位置有三种可能：在圆上、在圆内、在圆外.
如果D在圆内,那么延长AD交圆于E,连结CE.
容易知道,ADC+B>E+B=180,与B+D=180矛盾.
如果D在圆外,那么AD和CD必然与圆有交点（或切点）,亦容易证明D+B<180,矛盾.
因此D必然在圆上,从而ABCD共圆.
2、
四边形ABCD有内切圆推出对边和相等也很容易,切线长定理.
反之,四边形ABCD中AB+CD=AD+BC,我们证明它有内切圆.
首先,如果ABCD是平行四边形的话,那么由已知条件,它必然是菱形,从而有内切圆.
其次,如果ABCD中某两条对边不平行,不妨设AB和CD不平行,那么延长这两条边交于E.为了统一,设点的顺序为ABE、DCE.
做三角形ADE的内切圆O,圆O与AD切于F,与AB切于G,与CD切于H.我们要证明BC和O相切.
过B做圆O的切线BC'与DE交于C',那么BC'+AD=AB+CD'.
比较AB+CD=AD+CB,我们知道BC-BC'=CD-C'D.
亦即,BC-BC'=CC'.
但是,显然地,BC'+C'C>=BC.
因此,唯一的可能性是BCC'共线.
然而C和C'都在DE上,两直线BC和DE的交点只能有一个.
所以C和C'重合.
综上可知,BC确实是圆O的切线,从而四边形ABCD拥有内切圆O.证毕. 1、
ABCD共圆推出A+C=B+D=180利用圆周角定理容易证明.
反之,四边形ABCD中A+C=B+D=180,我们要证明ABCD共圆.
过ABC做圆,那么D点的位置有三种可能：在圆上、在圆内、在圆外.
如果D在圆内,那么延长AD交圆于E,连结CE.
容易知道,ADC+B>E+B=180,与B+D=180矛盾.
如果D在圆外,那么AD和CD必然与圆有交点（或切点）,亦容易证明D+B<180,矛盾.
因此D必然在圆上,从而ABCD共圆.
2、
四边形ABCD有内切圆推出对边和相等也很容易,切线长定理.
反之,四边形ABCD中AB+CD=AD+BC,我们证明它有内切圆.
首先,如果ABCD是平行四边形的话,那么由已知条件,它必然是菱形,从而有内切圆.
其次,如果ABCD中某两条对边不平行,不妨设AB和CD不平行,那么延长这两条边交于E.为了统一,设点的顺序为ABE、DCE.
做三角形ADE的内切圆O,圆O与AD切于F,与AB切于G,与CD切于H.我们要证明BC和O相切.
过B做圆O的切线BC'与DE交于C',那么BC'+AD=AB+CD'.
比较AB+CD=AD+CB,我们知道BC-BC'=CD-C'D.
亦即,BC-BC'=CC'.
但是,显然地,BC'+C'C>=BC.
因此,唯一的可能性是BCC'共线.
然而C和C'都在DE上,两直线BC和DE的交点只能有一个.
所以C和C'重合.
综上可知,BC确实是圆O的切线,从而四边形ABCD拥有内切圆O.证毕.